\(3^{m}\)+11\(7^{2}\)=\(n^{2}\)
\(3^{m}\)+(\(3^{2}\)*13\()^{2}\)=\(n^{2}\)
\(3^{m}\)+(\(3^{4}\))(1\(3^{2}\))=\(n^{2}\)
\(3^{4}\){3^(m-4)+1\(3^{2}\)}=\(n^{2}\)
3^(m-4)+1\(3^{2}\)=\(g^{2}\)とすると
3^(m-4)=\(g^{2}\)-1\(3^{2}\)
lo\(g_{3}\){3^(m-4)}=lo\(g_{3}\)(\(g^{2}\)-1\(3^{2}\))…lo\(g_{3}\)は底を3とするlogです。
m-4=lo\(g_{3}\)(\(g^{2}\)-1\(3^{2}\))
m=lo\(g_{3}\)(\(g^{2}\)-1\(3^{2}\))+4
lo\(g_{3}\)(\(g^{2}\)-1\(3^{2}\))>-4が成り立ち、整数ある。
よって\(3^{f}\)で表すと
\(g^{2}\)-1\(3^{2}\)=\(3^{f}\)
gに13より大きな整数を入れる←適当に
g=14とすると
1\(4^{2}\)-1\(3^{2}\)=196-169=27=\(3^{f}\)←たまたま当たった
となり、fが3であることがわかる。これより
m=lo\(g_{3}\)(\(3^{3}\))+4
m=3+4
m=7
よって
\(3^{4}\){\(3^{3}\)+1\(3^{2}\)}=\(n^{2}\)
\(3^{4}\)*1\(4^{2}\)=\(n^{2}\)
∴n=\(3^{2}\)*14=126
\(3^{m}\)+11\(7^{2}\)をそのまま計算して考えると大変なので
対数を使って簡単にしてやります。

(与式) ⇔ \(3^{m}\) = (n-117)(n+117) より、n-117, n+117 は
ともに3の冪。