πは無理数であるということは既に証明されてます。
http://ja.wikipedia.or\(\frac{g}{w}\)iki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
\(\sqrt{\quad}\)2が無理数であるというも証明されていて背理法で簡単に証明できます。
\(\sqrt{\quad}\)2が有理数だと仮定します。
有理数ということは\(\frac{a}{b}\)の形で表すことができます。
但し、aとbは互いに素（1以外の約数を持たないもの）です。
つまり
\(\sqrt{\quad}\)2=\(\frac{a}{b}\)
両辺を2乗すると
2=\(a^{2}\)/\(b^{2}\)
2*\(b^{2}\)=\(a^{2}\)
つまり、aが2の倍数であることが判りますのでa=2*cとすると
2*\(b^{2}\)=(2*c\()^{2}\)
2*\(b^{2}\)=4*\(c^{2}\)
\(b^{2}\)=2*\(c^{2}\)
となります。bも2の倍数であると出ましたが
最初にaとbは素で表せるとしてたので
ここで\(\sqrt{\quad}\)2が有理数であるという仮定が破綻してしまいます。
つまり、\(\sqrt{\quad}\)2が無理数であるということです。

例えば1．234564564656･･･のように456が繰り返される場合を考えれば十分
ですよね。（1.23の部分がものすごく長くても考え方に代わりがないという
ことです）
さて、x=1.23456456456･･･ に対して、この場合1000倍すると、
1000x=1234.56456456456･･･辺辺引くと
999x=1233.33
x=1233.\(\frac{33}{999}\)=\(\frac{123333}{99900}\)あと約分するけど
これは有理数となり、有理数は有限小数か、無限循環小数になることが証明
できます。よって、そうでないもの（循環しない無限小数）を無理数という
のです。

循環しないことが証明されているのです

素数pに対して，その累乗根が
無理数なのは比較的簡単に示されるはず
けど・・ある数が無理数かどうかを
判別するのはかなり難しいです

piやeが無理数であるのを証明するのは
かなり歯ごたえがあるはず
＃eはそれほどではないという人もいるかも