問題 Σの2n C 2k-1 のk=1からnまでを求めよ。
答えが本に載っているのですが
またまた途中の計算がわかりません。
教えてください。
前回の解答すごくよくわかりました。
ありがとうございました。
問題 Σの2n C 2k-1 のk=1からnまでを求めよ。
答えが本に載っているのですが
またまた途中の計算がわかりません。
教えてください。
前回の解答すごくよくわかりました。
ありがとうございました。
二項定理をΣでまとめると、
2n
ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）2n＝Σ 2nＣr ｘr
r=0
となる。
2n
ｆ（１）＝２2n＝Σ 2nＣr
r=0
＝2nＣ0 ＋2nＣ1 ＋2nＣ2 ＋……＋2nＣ2n-1＋2nＣ2n
＝（2nＣ0 ＋2nＣ2 ＋……＋2nＣ2n）＋（2nＣ1 ＋2nＣ3 ＋……＋2nＣ2n-1）
n n
＝Σ 2nＣ2k＋Σ 2nＣ2k-1
k=0 k=1
2n
ｆ（－１）＝０2n＝０＝Σ 2nＣr （－１）r
r=0
＝2nＣ0 －2nＣ1 ＋2nＣ2 －……－2nＣ2n-1＋2nＣ2n
＝（2nＣ0 ＋2nＣ2 ＋……＋2nＣ2n）－（2nＣ1 ＋2nＣ3 ＋……＋2nＣ2n-1）
n n
＝Σ 2nＣ2k－Σ 2nＣ2k-1
k=0 k=1
ｆ（１）－ｆ（－１）＝２2n－０＝２2n
n n n n
＝（Σ 2nＣ2k＋Σ 2nＣ2k-1）－（Σ 2nＣ2k－Σ 2nＣ2k-1）
k=0 k=1 k=0 k=1
n
＝２Σ 2nＣ2k-1
k=1
したがって、
n
Σ 2nＣ2k-1＝２2n÷２＝２2n-1……（答）
k=1