1) ∫\(\sqrt{\quad}\){(1+x)/(1-x)}dx
2) ∫\(\sqrt{\quad}\){(x-1)(3-x)}dx
この2つが分かりません。
1)はこの前に似たような問題があって
t=\(\sqrt{\quad}\){(1+x)/(1-x)}とおいてdxを求めればいいのだと思うのですが
うまくいきません。
★希望★完全解答★
1) ∫\(\sqrt{\quad}\){(1+x)/(1-x)}dx
2) ∫\(\sqrt{\quad}\){(x-1)(3-x)}dx
この2つが分かりません。
1)はこの前に似たような問題があって
t=\(\sqrt{\quad}\){(1+x)/(1-x)}とおいてdxを求めればいいのだと思うのですが
うまくいきません。
★希望★完全解答★
1)
∫\(\sqrt{\quad}\){(1+x)/(1-x)}dx
x=sinθとおくと、dx=cosθdθ
∫\(\sqrt{\quad}\){(1+x)/(1-x)}dx
=∫\(\sqrt{\quad}\)(1+x\()^{2}\)/(1-\(x^{2}\))dx
=∫((1+sinθ)/cosθ)cosθdθ
=∫((1+sinθ)dθ
=θ-cosθ＋C
=arcsin(x)-cos(arcsin(x))＋C
2)
∫\(\sqrt{\quad}\){(x-1)(3-x)}dx
=∫\(\sqrt{\quad}\){(4-(x-1\()^{2}\)}dx
ここで、x-1=2sinθとおくと、dx=2cosθdθ
\(\sqrt{\quad}\){(4-(x-1\()^{2}\)}
=\(\sqrt{\quad}\){(4-(2si\(n^{2}\)(θ)}
=2cosθ
となる。
従って、
∫\(\sqrt{\quad}\){(x-1)(3-x)}dx
=∫2cosθ(2cosθ)dθ
=4∫((1+cos2θ)/2)dθ
=2(θ+(\(\frac{1}{2}\))(sin2θ))＋C
=2arcsin((x-1)/2)+sin(2(arcsin((x-1)/2))＋C