これは９８年センター試験です。
（問題がはっきりしないところがありましたので、河合塾のホームページに
９８年度の問題と解答を見に行ってきました。質問文に若干誤記がありまし
たので、訂正して掲載します。 武田）
この問題では、複素数の偏角はすべて０°以上３６０°未満とする。
α＝2\(\sqrt{\quad}\)2(１＋ｉ)とし、等式│ｚ－α│=2を満たす複素数zを考える。
(1)zの中で絶対値が最大となるものは
［ア］\(\sqrt{\quad}\)［イ］（［ウ］＋ｉ）
である。
β
(2)zの中で偏角が最大となるものをβとおくと、─ の
\(\sqrt{\quad}\)［エ］ α
絶対値は────で、偏角は［カキ］°で
［オ］
ある。また、
［ク］\(\sqrt{\quad}\)［ケ］－\(\sqrt{\quad}\)［コ］ ［シ］\(\sqrt{\quad}\)［ス］＋\(\sqrt{\quad}\)［セ］
β＝────────────＋────────────ｉ
［サ］ ［ソ］
である。さらにβの偏角は［タチ］°である。
１≦ｎ≦１００の範囲で、βn が実数になる整数ｎは［ツ］個
ある。
問１
ｚ＝ｘ＋ｙｉとすると、
ｚ－α＝（ｘ＋ｙｉ）－（２\(\sqrt{\quad}\)２＋２\(\sqrt{\quad}\)２ｉ）
＝（ｘ－２\(\sqrt{\quad}\)２）＋（ｙ－２\(\sqrt{\quad}\)２）ｉ
｜ｚ－α｜＝２を２乗して、
（ｘ－２\(\sqrt{\quad}\)２）2 ＋（ｙ－２\(\sqrt{\quad}\)２）2 ＝４……①
ｚは、中心（２\(\sqrt{\quad}\)２，２\(\sqrt{\quad}\)２）半径２の円上にある。
｜ｚ｜が最大になるのは、ｚが点Ｐにくるときだから、
①の円と直線ｙ＝ｘの交点Ｐは、
２（ｘ－２\(\sqrt{\quad}\)２）2 ＝４
ｘ－２\(\sqrt{\quad}\)２＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)２、∴ｘ＝\(\sqrt{\quad}\)２，３\(\sqrt{\quad}\)２
したがって、点Ｐ（３\(\sqrt{\quad}\)２，３\(\sqrt{\quad}\)２）
∴ｚ＝３\(\sqrt{\quad}\)２＋３\(\sqrt{\quad}\)２ｉ＝３\(\sqrt{\quad}\)２（１＋ｉ）
問２
ｚの中で偏角が最大になるのは、①の円の接点Ｑだから、βは点Ｑにくる。
｜α｜＝４、argα＝４５°より、∠ＰＯＱ＝３０°より、｜β｜＝２\(\sqrt{\quad}\)３
argβ＝４５°＋３０°＝７５°
｜β｜ ｜β｜ ２\(\sqrt{\quad}\)３ \(\sqrt{\quad}\)３
｜─｜＝───＝───＝──
｜α｜ ｜α｜ ４ ２
β
arg──＝argβ－argα＝７５°－４５°＝３０°
α
βを極形式で表現すると、
β＝２\(\sqrt{\quad}\)３（cos７５°＋ｉsin７５°）
cos７５°＝cos（４５°＋３０°）＝cos４５°cos３０°－sin４５°sin３０°
１ \(\sqrt{\quad}\)３ １ １ \(\sqrt{\quad}\)３－１ \(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２
＝───×───－───×──＝──────＝──────
\(\sqrt{\quad}\)２ ２ \(\sqrt{\quad}\)２ ２ ２\(\sqrt{\quad}\)２ ４
sin７５°＝sin（４５°＋３０°）＝sin４５°cos３０°＋cos４５°sin３０°
１ \(\sqrt{\quad}\)３ １ １ \(\sqrt{\quad}\)３＋１ \(\sqrt{\quad}\)６＋\(\sqrt{\quad}\)２
＝───×───＋───×──＝──────＝──────
\(\sqrt{\quad}\)２ ２ \(\sqrt{\quad}\)２ ２ ２\(\sqrt{\quad}\)２ ４
したがって、
\(\sqrt{\quad}\)６－\(\sqrt{\quad}\)２ \(\sqrt{\quad}\)６＋\(\sqrt{\quad}\)２
β＝２\(\sqrt{\quad}\)３（─────＋─────ｉ）
４ ４
\(\sqrt{\quad}\)１８－\(\sqrt{\quad}\)６ \(\sqrt{\quad}\)１８＋\(\sqrt{\quad}\)６
＝──────＋──────ｉ
２ ２
３\(\sqrt{\quad}\)２－\(\sqrt{\quad}\)６ ３\(\sqrt{\quad}\)２＋\(\sqrt{\quad}\)６
＝──────＋──────ｉ
２ ２
argβ＝７５°＝５π／１２
argβn ＝ｎ×５π／１２より、ｎは１２の倍数であれば、
βn ＝（２\(\sqrt{\quad}\)３）n （cos７５°ｎ＋ｉsin７５°ｎ）は
実数になるから、
１００÷１２＝８……４より、８個ある。
（答）ア イ ウ エ オ カ キ ク ケ コ サ シ ス セ ソ タ チ ツ
３ ２ １ ３ ２ ３ ０ ３ ２ ６ ２ ３ ２ ６ ２ ７ ５ ８