数学についてはシロウトです。間違いがあったら指摘してください。

●１－１
Ｎ＝４となる取り出し方は，
７枚から任意の４枚を選んで，その４枚のカードの並びが次のようであるとき。
　　ａ＜ｂ＜ｃ と　ｄ　（ただし，ｄが４枚中の最大値であるものは不可）
　　これは４枚から任意の３枚（最大値を除外したもの）をｄとして選ぶ組合せ
よって，7Ｃ4 × 3Ｃ1 ＝ 105通り。

同様に，Ｎ＝７となる取り出し方は，7Ｃ7 × 6Ｃ1 に加えて，
箱が空になる場合（１＜２＜３＜４＜５＜６＜７）が１つあるので，計７通り。

●１－２
積ａｂｃが３の倍数となるのは，取り出したカード中に
３の倍数である「３」「６」のどちらかが含まれている場合。
逆に言えば，上記の２枚を除く５枚のカードを使えば３の倍数にはならない。
よって，積ａｂｃが３の倍数となる場合の数は，次の計算をすればよい。
　　（７枚のカードでＮ＝３の場合）－（５枚のカードでＮ＝３の場合）
（7Ｃ3 × 2Ｃ1）－（5Ｃ3 × 2Ｃ1）＝ 70－20 ＝ 50通り。

和ａ＋ｂ＋ｃが３の倍数となる３枚の組合せは，次の13通り。
　　（うまい方法を思いつかなかったので，数え上げました）
和が６…３＋２＋１
和が９…６＋２＋１，５＋３＋１，４＋３＋２
和が12…７＋４＋１，７＋３＋２，６＋５＋１，６＋４＋２，５＋４＋３
和が15…７＋６＋２，７＋５＋３，６＋５＋４
和が18…７＋６＋５
よって，13× 2Ｃ1 ＝ 26通り。

●２－１(i)
隣り合った赤玉２個をまとめて赤玉１個，合計８個の玉とみなせばよい。
８！／６！＝ 56通り。

●２－１(ii)
赤玉と黒玉が隣り合わない並べ方は次のいずれか１つに分類できる。
(a) 黒白－－－－－－－
(b) －－－－－－－白黒
(c) 白黒白 という並びが含まれるもの

(a) 残った白玉５個，赤玉２個の並び方は，７！／(５！×２！)＝ 21通り。
(b) 上記と同じく，21通り。
(c) 白黒白 をまとめて縞玉１個，合計７個の玉と見なせばよい。
７！／(４！×２！) ＝ 105通り。

よって，赤玉と黒玉が隣り合う並べ方は，
９！／(６！×２！) －（(a)＋(b)＋(c)）＝ 252－147 ＝ 105通り。

●２－１(iii)
(i) は，白６赤１黒１計８なので，元々の並べ方に左右対称のパターンはない。
180度回転を同じ並べ方と数えるなら，÷２すればよい。

(ii)の(a)(b)は互いに180度回転で同じ並べ方と数えられる。片方だけを採用。

(ii)の(c)は，白４赤２縞１計７なので，元々の並べ方に左右対称が含まれている。
白白赤縞赤白白，白赤白縞白赤白，赤白白縞白白赤の３つが左右対称パターン。
この３つを除外したものは ÷２すれば，180度回転を同じとして数えられる。

よって，（56÷２）＋ 21 ＋（105－３）÷２ ＋ ３ ＝ 103通り。

●２－２
１個しかない黒玉を円順列の起点とし，その他の８個の玉の並び方を考える。
８！／(６！×２！) ＝ 28通り。

私も挑戦してみました。（樹形図で全部書き出したりして＾＾）
式の意味を理解できたときの充実感は格別でした。

ところで、＜2＞(1)(iii)ですが、問題の「二つの並べ方のうち～」には、
「(i),(ii)の並べ方のうち～」の意図はまったくないと思います。
「次の（条件を満たす）二つの並べ方のうち～」の意味でとるほうが自然かと。

そうすると、６個と２個が同じ９個の玉の並び方の総数から、
線対称になる４通り(*)を引いて、２で割るから、

[{9!/(6!2!)}-4]/2= １２４通り

(*)線対称になる４通り
　○○○×●×○○○
　○○×○●○×○○
　○×○○●○○×○
　×○○○●○○○×　（○：白、●：黒、×：赤）
　

他に、＜2＞(1)(ii)の別解ですが、
×●、●×をそれぞれ一つの塊として考えた並び方の数の和から、
ダブルカウントされている●×●を一つの塊として考えた
７通りの並び方を引くという考え方ができますよね。

(8!/6!)+(8!/6!)-7= 56+56-7= １０５通り

もちろん同じ答えです。