方程式\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+bx+\(a^{2}\)-2=0がx=-1を解に持つので
(-1\()^{3}\)+a(-1\()^{2}\)+b(-1)+\(a^{2}\)-2=0
が成り立つ。これを整理してb=\(a^{2}\)+a-3
すると方程式は
\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+(\(a^{2}\)+a-3)x+\(a^{2}\)-2=0
と書ける。また、この方程式がx=-1を解に持つことから、
上式の左辺を多項式と見ると、左辺はx+1を因数に持つ。
よって、左辺をx+1で割ると
\(x^{3}\)+a\(x^{2}\)+(\(a^{2}\)+a-3)x+\(a^{2}\)-2=(x+1){\(x^{2}\)+(a-1)x+(\(a^{2}\)-2)}
と因数分解できる。
問題文よりこの方程式はx=-1,t,2tを解に持つので、
２次方程式\(x^{2}\)+(a-1)x+(\(a^{2}\)-2)=0の２解はx=t,2tであることが分かる。
よって解と係数の関係から
t+2t=-(a-1),t*2t=\(a^{2}\)-2
が成り立つ。この２式からtを消去すると
tの２次方程式
7\(t^{2}\)-6t-1=0
を得るので、これを解いてt=1,-\(\frac{1}{7}\)
さてここでt,2t,-1の中でtが１番大きいので
t＞2t,-1＜t
でなければならない。つまり-1＜t＜0でないといけないので、
結局求めるtの値はt=-\(\frac{1}{7}\)
このtの値をt+2t=-(a-1)に代入するとaの値が求められ、
そのaの値をb=\(a^{2}\)+a-3に代入するとbの値が求められる。