以下の問題を教えてください。
（１）y=tan^-1xのn次導関数について答えなさい。
①y'=sin(y+π/2)cosyを示せ。
②y''=sin(2y+2・π/2)co\(s^{2}\)yを示せ。
③y^(n+1)=n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}co\(s^{n}\)+1yを帰納法で示せ。
以上の３問です。
分かりにくかもしれませんが、
よろしくお願いします。
★希望★完全解答★
以下の問題を教えてください。
（１）y=tan^-1xのn次導関数について答えなさい。
①y'=sin(y+π/2)cosyを示せ。
②y''=sin(2y+2・π/2)co\(s^{2}\)yを示せ。
③y^(n+1)=n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}co\(s^{n}\)+1yを帰納法で示せ。
以上の３問です。
分かりにくかもしれませんが、
よろしくお願いします。
★希望★完全解答★
①だけ回答します。
すると、②は積の微分と三角関数の加法定理を利用。
③は確かめていませんが
普通に数学的帰納法で証明できるのではないでしょうか？
①
ｙ＝ａｒｃｔａｎｘより
ｔａｎｙ＝ｘ
両辺をｘで微分すると
（１／ｃｏｓ^2ｙ）・ｙ’＝１
よって
ｙ’＝ｃｏｓ^2ｙ
＝ｃｏｓｙ・ｃｏｓｙ
＝ｓｉｎ（ｙ＋π／２）・ｃｏｓｙ