xの範囲に条件があると思うのですが・・・

「範囲は０≦ｘ≦１」です。

まず、０≦ｘ≦１の範囲において
ｘ＝１で最大値をとるためには、
この曲線の頂点の座標が０と１の真ん中（１／２）より左側
（ｘ＝１／２のときを含む）になければならないのはわかるでしょうか？
もし、そうでなければ、ｘ＝０で最大値をとることになりますね。
平方完成すると
ｙ＝２｛ｘ＋（ａ／４）｝^2－（ａ^2／８）＋ａなので
上の考え方から
－ａ／４≦１／２　すなわち　ａ≧－２
頂点の座標が０と１／２の間にあるときは、頂点のｙ座標が最小値なので
０≦－ａ／４≦１／２　すなわち　－２≦ａ≦０のとき
最小値は－（ａ^2／８）＋ａ
最大値はｘ＝１のときだから２＋２ａ
その差が３だから
２＋２ａ＋（ａ^2／８）－ａ＝３
これを解いて、－２≦ａ≦０より
ａ＝－４＋２\(\sqrt{\quad}\)２
頂点のｘ座標が負のときは、最小値はｘ＝０のときなので
－ａ／４＜０　すなわち　ａ＞０　のとき
最小値はａ　最大値は２＋２ａ
２＋２ａ－ａ＝３より
ａ＝１

計算は確かめていません。間違っていたらすみません。