si\(n^{2}\)A + si\(n^{2}\)B = si\(n^{2}\)C ･･･ (1)
cosA + 5cosB + cosC = 5 ･･･ (2)

正弦定理から、
bsinA = asinB ･･･ (3)
csinB = bsinC ･･･ (4)

(3)、(4)を(1)に代入して整理すると、

1 + (\(\frac{b}{a}\)\()^{2}\) = (\(\frac{c}{a}\)\()^{2}\)
∴ \(a^{2}\) + \(b^{2}\) = \(c^{2}\) -> C = 90度

従って、B = 90 - Aとわかる。これを(2)に代入して
sinAに関する2次方程式にもっていくと、

13si\(n^{2}\)A - 25sinA +12 = 0
(13sinA - 12)(sinA -1) = 0

sinA = 1はA = 90度になるので却下。従って、

sinA = \(\frac{12}{13}\) ･･･ (5)
cosA = \(\frac{5}{13}\) ･･･ (6)

(3)、(4)とB = 90 - A、C = 90、(5),(6)を使って
a,cをbで表すと、

a = \(\frac{12}{5}\) b
c = \(\frac{13}{5}\) b

従って、

(a+c)/b = \(\frac{25}{5}\) = 5 ･･･ (答)

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なお、問題では a + \(\frac{c}{b}\)を求めよという問題にも見えましたが、
角の情報だけからはa,b,c間の比しか分からないはずと思い、
(a+c)/bの値を求めました。
もしa+\(\frac{c}{b}\)を求める問題なら、私には答えは分かりません。