ｙ＝ｔａｎｘ　と　ｙ＝ｔａｎ２ｘ　のグラフを書けば一目瞭然です。
答だけ書くと
０≦ｘ＜π／４，π／２＜ｘ＜３π／４，
　　π≦ｘ＜５π／４，３π／２＜ｘ＜７π／４

これを不等式を解く感覚でやると、初歩的であると言いながら、
結構面倒です。
もっとエレガントな解法がありましたら、
どなたかにお願いしたいと思います。

まず、加法定理から
ｔａｎ２ｘ＝２ｔａｎｘ／（１－ｔａｎ^2ｘ）より
与えられた不等式は
２ｔａｎｘ／（１－ｔａｎ^2ｘ）≧ｔａｎｘ・・・①　となります。
①の左辺の分母は０ではいけないので｜ｔａｎｘ｜≠１
すなわち、｜ｔａｎｘ｜＜１　または　｜ｔａｎｘ｜＞１
０≦ｘ＜２πに配慮して

（１）
０≦ｘ＜π／４，３π／４＜ｘ＜５π／４，７π／４＜ｘ＜２π・・・②
１－ｔａｎ^2ｘ＞０だから①の不等号の向きはそのままで、変形・整理して
ｔａｎｘ（ｔａｎ^2ｘ＋１）≧０
ｔａｎ^2ｘ＋１＞０よりｔａｎｘ≧０
∴０≦ｘ＜π／２，π≦ｘ＜３π／２・・・③
②と③の共通部分は
０≦ｘ＜π／４，π≦ｘ＜５π／４・・・④

（２）
π／４＜ｘ＜π／２，π／２＜ｘ＜３π／４，
　　５π／４＜ｘ＜３π／２，３π／２＜ｘ＜７π／４・・・⑤
１－ｔａｎ^2ｘ＜０だから①の不等号の向きに注意して変形・整理すると
ｔａｎｘ（ｔａｎ^2ｘ＋１）≦０
ｔａｎ^2ｘ＋１＞０よりｔａｎｘ≦０
∴π／２＜ｘ≦π，３π／２≦ｘ＜２π・・・⑥
⑤と⑥の共通部分は
π／２＜ｘ＜３π／４，３π／２＜ｘ＜７π／４・・・⑦

④または⑦が答（最初に書きました）となります。