（１①）
{１、－１、ｉ、－ｉ}が、乗法について閉じていること、
縦横に、１、－１、ｉ、－ｉを書いて乗法の結果を表にしましょう。
結果は、{１、－１、ｉ、－ｉ}のどれかですよね。
ということで、乗法について、閉じている。

（１②）
{１、－１、ｉ、－ｉ}が、除法について閉じていること、
　同様に縦横に、１、－１、ｉ、－ｉを書いて除法の結果を表にしましょう。
結果は、{１、－１、ｉ、－ｉ}のどれかですよね。
ということで、除法についても、閉じている。

（２）
まず、α∈Ｂとすると、α÷α＝１∈Ｂ、従って１∈Ｂ
　次に、１＝β×β∈Ｂとなるβが存在するから、β＝１またはβ＝－１
集合の要素は、４つなので、β＝－１∈Ｂ
　次に、－１＝γ×γ∈Ｂとなるγが存在するから、γ＝iまたはγ＝－i
従ってｉ∈Ｂ、－ｉ∈Ｂ

従って、Ａ＝Ｂ

（※少し記号等を換えましたが、これでいいでしょうか？管理人談）

何度も質問がきているようなので、ミスがないように丁寧にやります(=^・^=)

[解]
４数からなる集合Ｂが乗法と除法に関して閉じてる…①
まずBは①により0を元に持たないことに注意する

∀a∈Bに対し\(\frac{a}{a}\)=1だから、①より1∈B

さて１以外のBの元の一つをｂとおくと

①より{1,b,\(b^{2}\),\(b^{3}\),\(b^{4}\)}⊆Bだから、

1,b,\(b^{2}\),\(b^{3}\),\(b^{4}\)の少なくとも一つは一致する
ここで、b≠1よりb≠\(b^{2}\),\(b^{2}\)≠\(b^{3}\),\(b^{3}\)≠\(b^{4}\)に注意すると
1=\(b^{2}\),1=\(b^{3}\),1=\(b^{4}\),b=\(b^{3}\),b=\(b^{4}\),\(b^{2}\)=\(b^{4}\)
i.e.
1=\(b^{2}\),1=\(b^{3}\),1=\(b^{4}\)

(i)\(b^{2}\)=1のとき
　b≠1だからb=-1
　∴ｃ∈B ∧ｃ≠\(\pm\)1…②　なるｃが存在
　すると(-1)・c=－c∈Bで,ｃ≠\(\pm\)1より-ｃ≠\(\pm\)1だから
　\(\pm\)1,\(\pm\)c　は異なる４数
　よって①より\(c^{2}\)=\(\pm\)1,\(\pm\)c これと②よりc=\(\pm\)i
i.e. B={\(\pm\)1,\(\pm\)i}が必要

(ii)\(b^{3}\)=1
b≠1だからb=ω　（\(x^{3}\)=1の虚根の一つをωとすると他方はω^2で、
　それらは互いに共役であることは既知とします）
　　明らかにω^2∈B なので
　c∈B ∧ｃ≠1,ω,ω^2…②なるcが存在せねばならない
するとcω＝1,ω,ω^2,c(≠0)
すなわち c=ω^2,1,ω またはω=1
これは矛盾　よって\(b^{3}\)=1の時①は成立しない

(iii)\(b^{4}\)=1のとき
　　b=-1,\(\pm\)i
b=-1なら(i)で示したごとく残りは\(\pm\)i
　　b=iなら \(b^{2}\)=-1 と残りは -i
b=-iなら \(b^{2}\)=-1 と残りは i
いずれにせよB={\(\pm\)1,\(\pm\)i}が必要

十分性は明らかなので
以上より
　　　①⇔B={\(\pm\)1,\(\pm\)i}