まず、問題の不等式が誤っています。
（１）ｅのｘ乗＜１－ｘ＋（ｘの２乗）／２
となっていますが、ｘ＝１の場合、ｅ＜１／２となってしまいます。

　それでは、正しい不等式は何か、たぶん、
（１’）１－ｘ＜ｅの（－ｘ乗）＜１－ｘ＋（ｘの２乗）／２　
ですね。
証明を始める前に、テイラー展開をインターネットで、勉強してね。
難しいものでは、ありません。

ｆ（ｘ）が連続していて微分可能ならば、
ｆ（ｘ）＝Σ（ｎ＝０から無限大）ｆのｎ回微分の関数のg（０）の
値×（ｘのｎ乗）/n!

（１）の解
テイラー展開により、
ｅの（－ｘ乗）
＝（\(\frac{１}{０}\)!）＋（－ｘ/１!）＋（ｘの２乗/２!）＋（－ｘの３乗/３!）・・・
　ちょっと、強引なのですが、従って（１’）は、成立。

（２）の解
テイラー展開により、
cos(x)=cos(0)-(xの二乗/2!)＋・・・
このとき、次のxの４乗/4!)は、＋である。
　また、ちょっと、強引なのですが、従って（２）は、成り立つ。