問１２）
表計算ソフトを利用して、全部計算してみると、
Ｙ＝Ｘ₁ Ｘ₂ ＋Ｘ₂ Ｘ₃ ＋Ｘ₃ Ｘ₁
Ｘ₁ 　Ｘ₂ 　Ｘ₃ 　　Ｙ　　　余り
１　　１　　１　　３　　　３
１　　１　　２　　５　　　５
１　　１　　３　　７　　　７
１　　１　　４　　９　　　９
１　　１　　５　　１１　　１１
１　　１　　６　　１３　　０
１　　１　　７　　１５　　２
１　　１　　８　　１７　　４
１　　１　　９　　１９　　６
１　　１　　１０　２１　　８
１　　１　　１１　２３　　１０
１　　１　　１２　２５　　１２
１　　１　　１３　２７　　１　　←問題の余り１
上のような１サイクルで１回余り１が出てくる。
同様な出方だとすると、１３×１３＝１６９回出ることになるが、
表計算ソフトによると、全くないときと全部のときがある。これを分析してみると、
Ｙ＝Ｘ₁ Ｘ₂ ＋（Ｘ₁ ＋Ｘ₂ ）Ｘ₃ より、
Ｘ₁ ＋Ｘ₂ ＝１３のときに、余りが全部Ｘ₁ Ｘ₂ を１３で割った余りとなる。
Ｘ₁ 　Ｘ₂ 　　余りが全部
１　　１２　　１２　　←余り１は無し
２　　１１　　９　　　←余り１は無し
３　　１０　　４　　　←余り１は無し
４　　９　　　１０　　←余り１は無し
５　　８　　　１　　　←１３個の余り１がある
６　　７　　　３　　　←余り１は無し
７　　６　　　３　　　←余り１は無し
８　　５　　　１　　　←１３個の余り１がある
９　　４　　　１０　　←余り１は無し
１０　３　　　４　　　←余り１は無し
１１　２　　　９　　　←余り１は無し
１２　１　　　１２　　←余り１は無し
また、Ｘ₁ ＋Ｘ₂ ＝２６のときも考えて、
Ｘ₁ 　Ｘ₂ 　　余りが全部
１３　　１３　　０　　←余り１は無し
したがって、
１３×１３×１３＝２１９７個の場合分けのうち
１６９－１３＋１３×２＝１８２個が余り１となるので、
　　　　１８２
確率は────≒０．０８２８４≒８．２８４％……（答）
　　　２１９７

問２新規質問
未解決問題のコーナーに移しました。CharlieBrownさんから
アドバイスが届きました。

この問題にも記載ミスがあります。
「関数f(x)はf(0）=0, f'(x)＞0, f'''(x)＜0を満たすものとする」
のままでは、(1)に反する例を挙げることができます。
例：f(x) = 1-cosx
正しくは、
「関数f(x)はf(0)=0, f'(x)＞0, f''(x)＜0を満たすものとする」
です。

まず、問題文の不足を補いましょう。
全ての実数で連続かつ2階微分可能な関数f(x)は、
f(0)=0 かつ、
区間 0＜x＜a （aは定数）でf'(x)＞0, f''(x)＜0を満たすものとします。
例：f(x)=sinx a=π/2、f(x)=-\(x^{2}\)+2x a=1 など。

次に問題文の解釈をしてみましょう。
関数f(x) は、
f(0)=0 より原点を通り、
区間 0＜x＜a でf'(x)＞0, f''(x)＜0 より上に凸な増加関数です。

また、kを1より大きい定数として、実数s,tを
f(t)=kf(s), 0＜s＜t を満たすものと定める、とありますが、
これは、区間 0＜x＜a に属する実数tを一つ選んだ時、
0とtの間の実数で f(t)=kf(s) の関係を満たすものが存在し、
それをsとする、ということです。

このことは、上に凸な増加関数を作図するとより判りやすくなります。
f(t)=kf(s) より、y軸上にf(t)とf(s)をとると、
原点からの距離の比が、f(s):f(t)=1:k (一定)になっています。
そうなるようなsを、0とtの間から選べ、ということです。
したがって、tをどこにとるかで、sの値も変わってきます。
つまり、sはtの関数 s=s(t) なのです。
この事実は問題の後半で効いてきます。

1）\(\frac{t}{s}\)>k, lim(t→0)\(\frac{t}{s}\)=kを証明せよ

この問題の前半は、グラフを見れば当たり前の話です。
上に凸な増加関数で、y軸上にf(s):f(t)=1:k ととったとき、
x軸上では、s:t=1:κ と書くと、確かにκ＞k になっています。

これを、原点とグラフ上の点(s,f(s))、
および(t,f(t))を結んだ線分の傾きで考えると、
傾きは前者の方が大きいです。
つまり、f(s)/s ＞ f(t)/t です。
逆に、この関係が証明できれば、
両辺× \(\frac{t}{f}\)(s) より、\(\frac{t}{s}\) ＞ f(t)/f(s) = k となるので、
問題の関係を導けます。

従って、当面の目標は f(s)/s ＞ f(t)/t の証明です。
0＜s＜t に対して f(s)/s ＞ f(t)/t より、
関数 g(t) = f(t)/t を考えると、
この関係は、関数g(t)が t の減少関数であることを示しています。
これを証明するため、関数g(t)をtで微分して増減を調べます。
tf'(t)-f(t)
g'(t) = ----------- (商の微分)
\(t^{2}\)
となり、分母はt＞0で常に正ですから、
この式の正負は分子の正負で決まります。

そこで、その正負を判断するために、分子の関数を改めてh(t)とおき、
増減を考えるため、再びtで微分します。
h(t) = tf'(t)-f(t)
h'(t)= 1・f(t) + tf''(t) - f'(t) (積の微分)
= tf''(t)
ここで、問題の仮定より 0＜x＜a でf''(x)＜0であるから、
0＜x＜a で h'(t)＜0、すなわち関数h(t)はtの減少関数で、
h(0)=0・f'(0)-f(0)
=0 (∵f(0)=0)
ですから、0＜x＜a でh(t)＜0です。
したがって、同じ区間でg'(t)＜0となり、
g(t)が減少関数であることが示されました。

1)の後半、および2)については後日に送ります。
（武田先生へ：お忙しい中恐縮ですが、　簡単な図を添えていただけたら幸いです。）

（武田談：ゴメンナサイ。難しくて図が書けません。(^_^；)

後半です。
lim(t→0)\(\frac{t}{s}\)=kを証明せよ。
厳密に言うなら、tは正の範囲でしか定義されていないので、
t→0は、t→+0と、左側極限値で表すのが適当でしょう。

これを示すにあたって、次の極限値を考えます。
f(t)
lim(t→0)----
t
f(t)-f(0)
=lim(t→0)--------- (∵f(0)=0)
t-0
=f'(0)

また、f(t)=kf(s)より、
kf(s)
-----=1
f(t)
です。

これらの関係を用いると、t→0 のとき s→0 なので、
t
lim(t→0)-
s
t kf(s)
=lim(t→0)-･-----
s f(t)
t f(s)
=k･lim(t→0)----･----
f(t) s
t f(s)
=k･lim(t→0)----･lim(s→0)----
f(t) s
=k･1･1
=k

(2)については、また後ほど。

2)とくにf(x)=sinx(0＜x＜π/2)のとき、\(\frac{t}{s}\)(0＜s＜t＜π/2)
はtの増加関数であることを示せ

f(t) = kf(s) の両辺をtで微分すると、陰関数微分を用いて、
f'(t) = kf'(s)･d\(\frac{s}{d}\)t
∴d\(\frac{s}{d}\)t = f'(t)/kf'(s)
= f'(t)f(s)/f'(s)f(t)

よって、
\(\frac{d}{d}\)t(\(\frac{t}{s}\)) = (s-t･d\(\frac{s}{d}\)t)/\(s^{2}\)
= (s-t･f'(t)f(s)/f'(s)f(t))/\(s^{2}\)
= (sf'(s)/f(s)-tf'(t)/f(t))/(\(s^{2}\)f'(s)/f(s))　…*
となる。この式の分母は 0＜x＜a で常に正だから、
正負は分子の正負で決まる。

\(\frac{t}{s}\) がtの増加関数であることは、上の式の分子が正であることと同値だから、
0＜s＜t に対して sf'(s)/f(s)＞tf'(t)/f(t) であることを示せばよい。
これは、関数 j(x) = xf'(x)/f(x) とおくと、
j(x)がxの減少関数であることを示すことに帰着する。

0＜x＜a でj(x)＞0 であるから、
j(x)が減少関数であることと、\(\frac{1}{j}\)(x)が増加関数であることが同値。

ここで、f(x)=sinxとすると、
\(\frac{1}{j}\)(x) = tan\(\frac{x}{x}\)
\(\frac{d}{d}\)x(\(\frac{1}{j}\)(x)) = (\(\frac{x}{c}\)o\(s^{2}\)x-tanx)/\(x^{2}\)
= (x-sinxcosx)/\(x^{2}\)co\(s^{2}\)x
= (x-sin2\(\frac{x}{2}\))/\(x^{2}\)co\(s^{2}\)x　…**
\(\frac{d}{d}\)x(x-sin2\(\frac{x}{2}\)) = 1-cos2x＞0　(0＜x＜a)
より**の分子はxの増加関数で、x=0のとき分子=0だから、
0＜x＜a で ** ＞0。
したがって、\(\frac{1}{j}\)(x)はxの増加関数。