（1+1/\(1^{1}\))(1+1/\(2^{2}\))・・・・（1+1/\(n^{2}\))=A(n)とおく
log（1+1/\(1^{1}\))+log(1+1/\(2^{2}\))+・・・・+log（1+1/\(n^{2}\))=logA(n)
ここで、y=log(1+1/\(x^{2}\))のグラフを描くと
∫[0,n]log{1+1/(x+1\()^{2}\)}dx＜logA(n)＜log2+∫[1,n]log(1+1/\(x^{2}\))dx
が成り立つ。
ここで、∫log(1+1/\(x^{2}\))dx＝2arctan(x)-π+xlog(1+1/\(x^{2}\))を用いて、
n→∞にすると ｛このとき、A(n)\(\vec{A}\)とする｝
π/2≦logA≦π/2
よって、A=e^(π/2)

収束について先に議論するならば、
1/\(x^{2}\)とlog(1+1/\(x^{2}\))で比較するのではないかな？
自信ないですが、こんな説明ではだめですか？