(1)
f(x)=x+cosx　とおくと
f'(x)=1-sinx≧0→単調増加（恒等的に0となる区間はない）
x→-∞のときf(x)→-∞、x→+∞のときf(x)→+∞だから
実数解は1個

(2)(3)は、微分して増減表を書いて、グラフの概形が書ける前提で回答します。
また、単純に与えられた方程式f(x)=0のf(x)を微分して、増減表を書くと
aの値の範囲の吟味が少々面倒になります。
この場合は、x=0が解に成り得ないことに着目して
aを定数として扱えるような工夫をします。
そのことで、x軸との交点の数＝解の個数と置き換えることができます。

(2)
x=0は解ではないので、与えられた方程式は
\(x^{2}\)+(\(\frac{2}{x}\))-3a=0　と同値である。
f(x)=\(x^{2}\)+(\(\frac{2}{x}\))-3a　と置くと
f'(x)=2(x-1)(\(x^{2}\)+x+1)/\(x^{2}\)
\(x^{2}\)+x+1={x+(\(\frac{1}{2}\))}^2+\(\frac{3}{4}\)>0だから
f'(x)=0のときx=1
増減表（省略）からグラフ（省略）を書くと
x＜0で1つの解を持ち
x＞0では極小かつ最小値が3-3aであることが分かる。
3-3a＞0\(\vec{a}\)＜1→解は1個
3-3a=0\(\vec{a}\)=1→解は2個
3-3a＜0\(\vec{a}\)＞1→解は3個

(3)
(2)と同様にやります。
微分して増減表を書いてグラフの概形を書けば
x＜0に解1個
x＞0では極小かつ最小値f(2)=12-aであることが分かります。
x=0は解ではないので、0＜x≦3で考えればよいことになります。
この範囲に異なる2つの解を持つ条件は
12-a＜0　かつ　f(3)=(\(\frac{43}{3}\))-a≧0
したがって
12＜a≦\(\frac{43}{3}\)　となります。