私は、高校卒業後３０年くらいたっており、以後、数学を使わない
サラリーマンをしております。このため、アドバイスになってないか
もしれませんが、読んでいただければ、幸いです。

　まず、r∈R（実数）でなく、r∈Q（有理数）ですね。そうでないと、
例えば、円周率πが有理数になってしまいますから。

　次に、設問自体がおかしいように、思われます。
　例えば、
r=1のとき、
\(\frac{1}{1}\)=1,\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\)=1,\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{3}\)=1,-----,\(\frac{1}{n}\)+\(\frac{1}{n}\)+^-----\(\frac{1}{n}\)=1,----
というように、
自然数の組ｘ(1),ｘ(2),ｘ(3),…,ｘ(k)は、無限個あります。
　ということで、質問を明確にしてください。

r = 1 とすると、
r = \(\frac{1}{1}\)
= \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{3}\)
= …
と無限に多くの表示を持つ。

出題者に尋ねたところｋは定数だそうです。
たとえばr=1のとき、
\(\frac{1}{1}\)=1,\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\)=1,\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{3}\)+\(\frac{1}{3}\)=1,-----,\(\frac{1}{n}\)+\(\frac{1}{n}\)+^-----\(\frac{1}{n}\)=1,----
といったようにｋを自由に設定することはできない
ということだそうです。

ｘ(1),ｘ(2),ｘ(3),…,ｘ(k)は有限個なのですから、
{ｘ(1),ｘ(2),ｘ(3),…,ｘ(k)}が有限個は、明らかです。

解答に「明らかであるから」と書けばいいということでしょうか？