こんにちは。わからない問題があったので教えてください。
宜しくおねがいします。
f(x)=4a\(x^{3}\)+3a(a-10)\(x^{2}\)-30\(a^{2}\)xの極大値をaで表せ。
ただしa＞0とする。
★希望★完全解答★
こんにちは。わからない問題があったので教えてください。
宜しくおねがいします。
f(x)=4a\(x^{3}\)+3a(a-10)\(x^{2}\)-30\(a^{2}\)xの極大値をaで表せ。
ただしa＞0とする。
★希望★完全解答★
ｆ（ｘ）＝４ａｘ^3＋３ａ（ａ－１０）ｘ^2－３０（ａ^2）ｘ
微分して、
ｆ′（ｘ）＝１２ａｘ^2＋６ａ（ａ－１０）ｘ－３０ａ^2
極値を持つには、ｆ′（ｘ）＝０より、
１２ａｘ^2＋６ａ（ａ－１０）ｘ－３０ａ^2＝０
６ａ｛２ｘ^2＋（ａ－１０）ｘ－５ａ｝＝０
ａ＞０より、
２ｘ^2＋（ａ－１０）ｘ－５ａ＝０
（２ｘ＋ａ）（ｘ－５）＝０
∴ｘ＝－ａ／２，５
増減表（略）より、ｘ＝－ａ／２のとき極大値を持つので、
ｆ（－ａ／２）
＝４ａ（－ａ／２）^3＋３ａ（ａ－１０）（－ａ／２）^2－３０（ａ^2）（－ａ／２）
１ ３
＝－―ａ^4＋―ａ^3（ａ－１０）＋１５ａ^3
２ ４
１ ３ １５
＝－―ａ^4＋―ａ^4－――ａ^3＋１５ａ^3
２ ４ ２
１ １５
＝―ａ^4＋―――ａ^3 ……（答）
４ ２