高校の物理の先生に聞いたところ、この式は坂道を上がっていく物体の
運動だそうです。坂上向きを正の向きにすると、空気抵抗も摩擦も重力
も全部マイナスがつくそうです。
ｍａ＝－ｋｖ－μｍｇcosθ－ｍｇsinθ
　　　１
ａ＝－─（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）
　　　ｍ
　　　　　ｄｖ
加速度ａ＝──より、積分して、
　　　　　ｄｔ
ｄｖ　　１
──＝－─（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）
ｄｔ　　ｍ

　　　　　　　１
∫ｄｖ＝∫｛－─（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）｝ｄｔ
　　　　　　　ｍ

　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　１
∫────────────────ｄｖ＝∫（－─　）ｄｔ
　（ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）　　　　　　ｍ

１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｔ
─ｌｏｇ｜ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ｜＝－─＋Ｃ
ｋ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ
ｌｏｇ｜ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ｜＝－─ｔ＋ｋＣ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ

｜ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ｜＝ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t+kC}

ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ＝\(\pm\)ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}ｅ^kC

\(\pm\)ｅ^kC＝Ａとおくと、

ｋｖ＋μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ＝Ａｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}

初期条件ｔ＝０，ｖ＝０より、
Ａ＝μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ

ｋｖ＝（μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}－（μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）
　　＝（μｍｇcosθ＋ｍｇsinθ）（ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}－１）

　　　ｍｇ
∴ｖ＝──（μcosθ＋sinθ）（ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}－１）……（答）
　　　ｋ

　　　　ｄｘ
速度ｖ＝──より、積分して、
　　　　ｄｔ

ｄｘ　ｍｇ
──＝──（μcosθ＋sinθ）（ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}－１）
ｄｔ　ｋ

　　　　ｍｇ
∫ｄｘ＝──（μcosθ＋sinθ）∫（ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}－１）ｄｔ
　　　　ｋ

　　ｍｇ　　　　　　　　　　　ｍ
ｘ＝──（μcosθ＋sinθ）（－─ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}－ｔ＋Ｃ）
　　ｋ　　　　　　　　　　　　ｋ

初期条件ｔ＝０，ｘ＝０より、
　ｍ　　　　　　　　　　　　　ｍ
－─＋Ｃ＝０　したがって、Ｃ＝─
　ｋ　　　　　　　　　　　　　ｋ

　　ｍｇ　　　　　　　　　　　ｍ　　　　　　　ｍ
ｘ＝──（μcosθ＋sinθ）（－─ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}－ｔ＋─　）
　　ｋ　　　　　　　　　　　　ｋ　　　　　　　ｋ

　　　　ｍ² ｇ　　　　　　　　　　　　　　　ｋ
∴ｘ＝－───（μcosθ＋sinθ）（ｅ^{-(\(\frac{k}{m}\))t}＋─ｔ－１）……（答）
　　　　ｋ² 　　　　　　　　　　　　　　　　ｍ