(1) \(2^{q}\)-1が素数ならば、qは素数であることを証明せよ。
証明には、\(x^{n}\)-1=(x-1){x^(n-1)＋x^(n-2)＋…＋x＋1 }という因数分解と
背理法を用いる。
(2) \(2^{q}\)-1の形をメルセンヌ数と言う。
qが素数で、\(2^{q}\)-1が素数でない最小の素数qは何か。
という２問が良く分かりません。申し訳ありませんが解答をお願いします。
★希望★完全解答★
(1) \(2^{q}\)-1が素数ならば、qは素数であることを証明せよ。
証明には、\(x^{n}\)-1=(x-1){x^(n-1)＋x^(n-2)＋…＋x＋1 }という因数分解と
背理法を用いる。
(2) \(2^{q}\)-1の形をメルセンヌ数と言う。
qが素数で、\(2^{q}\)-1が素数でない最小の素数qは何か。
という２問が良く分かりません。申し訳ありませんが解答をお願いします。
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1) qは素数でないと仮定すると
q=ab（a≧2,b≧2）となるa,bが存在する。
このとき、
\(2^{q}\)-1=(\(2^{a}\)-1)｛1+\(2^{a}\)+\(2^{2}\)a+\(2^{3}\)a+･･････+2^(b-1)a｝=(\(2^{a}\)b)-1
となり、\(2^{q}\)-1は、素数でない。
従って、\(2^{q}\)-1が素数ならば、qは素数である。
2) これは、実際に計算するしかないのでは。
\(2^{2}\)-1=3,\(2^{3}\)-1=7,\(2^{5}\)-1=31,\(2^{7}\)-1=127,
\(2^{11}\)-1=2047(=23x89)であるから素数q=11