図を書いて考えたら、三角形の相似から見えますよ。

ABのB側への延長線と、Cを通りOAに平行な線との交点をDとします。
CからOAに下ろした垂線とOAとの交点をEとすると、
△BDCと△OABにおいて、
∠BDC=∠OAB=∠R
∠CBD=∠BOA=∠R-∠ABO
よって二角相当より△BDCと△OABは相似
また、これらの直角三角形は三辺の比が3:4:5ですから
BD=4
ゆえに　AD=EC=25
CD=EA=3
ゆえに　OE=25
よって△EOCはEO=EC=25、∠OEC=∠Rの直角二等辺三角形
ゆえに∠AOC=∠EOC=45度

計算過程は省略します。
三平方の定理から
ＯＢ＝３５、ＯＣ＝２５\(\sqrt{\quad}\)２
∠ＡＯＢ＝α、∠ＢＯＣ＝βとおくと
∠ＡＯＣ＝α＋β
△ＡＯＢについて
余弦定理から
ｃｏｓα＝４／５
したがって、ｓｉｎα＝３／５
△ＢＯＣについて
余弦定理から
ｃｏｓβ＝（７\(\sqrt{\quad}\)２）／１０
従って　ｓｉｎβ＝（\(\sqrt{\quad}\)２）／１０
以上から
加法定理によって
ｃｏｓ（α＋β）＝\(\sqrt{\quad}\)２／２
※ｓｉｎ（α＋β）でも同様。
よって
∠ＡＯＣ＝α＋β＝４５°・・・（答）

⊿OABで∠AOB＝αとおくと、tanα＝\(\frac{21}{28}\)＝\(\frac{3}{4}\)
また、三平方の定理からOB=35が求まり、
⊿OBCで∠OBC＝βとおくと、tanβ＝\(\frac{5}{35}\)＝\(\frac{1}{7}\)
よって、∠AOC＝α＋βに正接の加法定理を用いて
tan(α＋β)＝{tanα＋tanβ}/{1-tanαtanβ}
　　　　 ＝{\(\frac{3}{4}\)+\(\frac{1}{7}\)}/{1-\(\frac{3}{4}\)×\(\frac{1}{7}\)}=1
0°＜α＋β＜180°だから、α＋β＝45°

三角関数の加法定理を利用します。
∠BOA＝α、∠COB＝βとする。
三平方の定理などからOB＝３５、OC=２５\(\sqrt{\quad}\)２となるので
Cosα＝２８／３５、sinα＝３５／２１、cosβ＝３５／２５\(\sqrt{\quad}\)２、
sinβ＝５／２５\(\sqrt{\quad}\)２。
Cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
　　　　　　 ＝１／\(\sqrt{\quad}\)２
よってα＋β＝４５°（π／４）・・・（答）