次の問題がわかりません。教えてください、宜しくお願いします。
|ﾍﾞｸﾄﾙOA｜=1、｜ﾍﾞｸﾄﾙOB｜=2である三角形AOBに対して,
k=|2ﾍﾞｸﾄﾙOA＋ﾍﾞｸﾄﾙOB|／｜ﾍﾞｸﾄﾙOA－2ﾍﾞｸﾄﾙOB｜とする。
このとき、θ=∠AOBとするとき\(k^{2}\)をcosθで表せ。
また三角形AOBが二等辺三角形となるときのkの値を求めよ。
★希望★完全解答★
次の問題がわかりません。教えてください、宜しくお願いします。
|ﾍﾞｸﾄﾙOA｜=1、｜ﾍﾞｸﾄﾙOB｜=2である三角形AOBに対して,
k=|2ﾍﾞｸﾄﾙOA＋ﾍﾞｸﾄﾙOB|／｜ﾍﾞｸﾄﾙOA－2ﾍﾞｸﾄﾙOB｜とする。
このとき、θ=∠AOBとするとき\(k^{2}\)をcosθで表せ。
また三角形AOBが二等辺三角形となるときのkの値を求めよ。
★希望★完全解答★
ベクトルを表す→は省略します。
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂとします。
ｋ＝｜２ａ＋ｂ｜／｜ａ－２ｂ｜
まず、ｋ＞０
ここで
内積ａ・ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ＝２ｃｏｓθ
｜２ａ＋ｂ｜^2
ｋ^2＝---------------
｜ａ－２ｂ｜^2
４｜ａ｜^2＋４ａ・ｂ＋｜ｂ｜^2
＝ -------------------------------
｜ａ｜^2－４ａ・ｂ＋４｜ｂ｜^2
４＋８ｃｏｓθ＋４
＝ -------------------
１－８ｃｏｓθ＋１６
８＋８ｃｏｓθ
＝ ---------------- ・・・（答）
１７－８ｃｏｓθ
次に△ＡＯＢが二等辺三角形ならば
ＡＢ＝２ （ＡＢ＝１なら三角形にならない）
従って、余弦定理から
ｃｏｓθ＝１／４（計算省略）
よって
ｋ^2＝２／３
ｋ＞０より
ｋ＝\(\sqrt{\quad}\)６／３・・・（答）