対数が上手く書けなくて申し訳ないです。
「ａ＞０,ａ≠１とする。２曲線ｙ＝ｌｏｇaｘ（底がaです）とｙ＝ｂｘ＾２
が点Ｐを共有し、点Ｐにおいて共通の接線を持つ。」という条件下で、аとｂ
の関係式を導くのが目的です。
点Ｐのｘ座標をｐとおくと、題意より以下の２式が出るのは分かります。
（習いたてなので間違っているかもしれません）
ｌｏｇaｐ=ｂｐ＾２（点Ｐのｙ座標から）
１
─────＝ ２ｂｐ（接線の傾きから）
ｐｌｏｇа
上の２つの式からｐを消す方法が思いつきません。
どうしたらいいか教えて下さい。
２つのグラフの接点Ｐのｘ座標をｘとすると、
ｌｏｇa ｘ＝ｂｘ2 ……①
両辺をｘで微分して、
１
─────＝２ｂｘ……②
ｘｌｏｇａ
②を変形すると、
１
ｂｘ2 ＝────── ……③
２ｌｏｇａ
③と①より、
１
ｌｏｇa ｘ＝──────
２ｌｏｇａ
底の変換公式より、
ｌｏｇｘ １
────＝─────
ｌｏｇａ ２ｌｏｇａ
ｌｏｇｘ＝１／２
∴ｘ＝ｅ\(\frac{1}{2}\)
これは接点Ｐのｘ座標である。これを①に代入して、
ｌｏｇa （ｅ\(\frac{1}{2}\)）＝ｂ（ｅ\(\frac{1}{2}\)）2 ……①
（１／２）ｌｏｇa ｅ＝ｂｅ
ｌｏｇa ｅ＝２ｂｅ
底の変換公式より、
ｌｏｇｅ
────＝２ｂｅ
ｌｏｇａ
１
────＝２ｂｅ
ｌｏｇａ
したがって、
１
ｂ＝────── ……（答）
２ｅｌｏｇａ