指数を考えるとき、「巻き貝」で考えるとよく分かります。
指数関数ｙ＝ｆ（ｘ）において、ｘが巻き貝の回転数を表し、
ｙが原点からの距離を表すとします。


まず基準として、ｘ＝０回転のとき、ｙ＝１をとります。
この巻き貝はｘ＝１回転で、ｙ＝３となるものが多いようなので、
ｆ（ｘ）＝３^xを例とします。
ｘ＝１／２回転で、ｙ＝３^{\(\frac{1}{2}\)}ですが、
１回転を１年間とすると、身長が１から３に成長するわけですから、
１／２回転は半年に成長する身長に当たります。３^{\(\frac{1}{2}\)}が
具体的に長さとして見えますね。
はじめは１．５と言う人がいますが、巻き貝の成長の様子を図で調べ
ていく内に、１．５ではないことが分かってきます。
和ではなく積の世界が見えてきます。２回掛けると３となるから、
\(\sqrt{\quad}\)３＝３^{\(\frac{1}{2}\)}となり、３^{\(\frac{1}{2}\)}は約１．７３２
であることが言えます。
３^{\(\frac{3}{4}\)}という指数もイメージが湧きますね。そうです、
巻き貝の基準点から３／４回転した原点からの距離を表しているのです。
こうして新しい指数の拡張ができてきました。