前略
もう２０数年前かと思いますが、受験勉強していた時期に出会った問題で、
どこの大学か忘れてしまいましたが、入試問題で、次のような、内容だったと
思います。
「座標平面上において、
ｘ、ｙの１次方程式 aｘ＋bｙ＋ｃ＝０
は、直線を表す事を証明せよ。
ただし、aとbは同時には０ではない。」
その当時は、”解答”をみて、なるほど、と思っていたのですが、今考えて
みますに、そもそも”直線”の定義もはっきり示さずに（本来は、無定義用語？）
どう証明したのだろうかと思います。
この問題を記憶にある方いらっしゃいますか。
また、この問題に対する”解答”をお寄せいただけたらと思います。
★希望★ヒント希望★
平面上の異なる２点Ａ（ａ，ｂ）、Ｂ（ｃ，ｄ）を通る直線を考えます。
その直線上に点Ｘ（ｘ，ｙ）があるためには
ＡＸ→＝ｔＡＢ→
これをベクトルの成分で表し、媒介変数ｔを消去すると
（ｃ－ａ）（ｙ－ｂ）＝（ｄ－ｂ）（ｘ－ａ）
Ａ，Ｂは異なる２点だから
ｃ－ａ，ｄ－ｂは同時に０にはならない
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
こんな感じではないのかなぁ？
平面上の異なる２点の位置ベクトルと、
その２点を結ぶ直線上にある点の位置ベクトルを
媒介変数を用いて表して
それを成分で表したときの式の一般形が
表記の式になる・・・ということではないでしょうか？
ax+by+c=0を満たす、任意の2点A(x1,y1) , B(x2,y2)をとる。
ax1+by1+c=0 ･･･①
ax2+by2=c=0 ･･･②
②－①
a(x2-x1)+b(y2-y1)=0 ･･･③
これは、ベクトルAB＝(x2-x1,y2-y1)と
定ベクトルの成分=(a,b)の内積が０より
常に垂直であることを示している。
よって、直線である。
または、x2≠x1とすれば、③より
(y2-y1)/(x1-x2)=-\(\frac{a}{b}\) より2点を結ぶ直線の傾きが一定より、直線である。
こんな説明ではどうでしょうか？