【回答その１】
S(n)=1+2x+3\(x^{2}\)+……+nx^(n-1)・・・①とおく
両辺にxをかけて
xS(n)=x+2\(x^{2}\)+……+(n-1)x^(n-1)+n\(x^{n}\)・・・②
①－②から
(1-x)S(n)=1+x+\(x^{2}\)+…+x^(n-1)-n\(x^{n}\)
(等比数列の和の公式から)
={(1-\(x^{n}\))/(1-x)}-n\(x^{n}\)
S(n)={nx^(n+1)-(n+1)\(x^{n}\)+1}/(1-x\()^{2}\)・・・（答）

【回答その２】
1+x+\(x^{2}\)+…+\(x^{n}\)={1-x^(n+1)}/(1-x)
両辺をxで微分すればよい。