f(x)はx≠0で微分可能なので
題意はx＝0で微分可能となるようにf(0)を定めるということだと思います。
微分可能ならば連続
すなわち、連続であることは微分可能であるための必要条件です。
ただし、十分条件にはなりません。
すなわち、微分可能であるためには、少なくとも連続である必要があります。
x≠0において、x→0のときf(x)の極限を調べると
0≦|sin(\(\frac{1}{x}\))|≦1だから
0≦|\(x^{2}\)sin(\(\frac{1}{x}\))|≦|\(x^{2}\)|→0(x→0)
よって
f(0)＝0　(x＝0)　と定めるとf(x)はx＝0で連続です。
連続性は解決しましたが、これでx＝0で微分可能とは言えません。
これを定義に従って計算してf'(0)＝0となればＯＫです。
lim(⊿x→0){ f(⊿x+0)－f(0)}/(⊿x－0)
＝lim(⊿x→0) f(⊿x)/⊿x
＝lim(⊿x→0){(⊿x\()^{2}\)sin(1/⊿x)}/⊿x
＝⊿xsin(1/⊿x)
0≦|sin(1/⊿x)|≦1
0≦|⊿xsin(1/⊿x)|≦|⊿x|→0
以上から
f(0)＝0 と定めたとき
f(x)は微分可能となります。