おっしゃるとおり
直線②との交点のｘ座標はｘ＝－１，－ａ，ａです。
０＜ａ＜１なので
まず、－１＜－ａ＜ａですね
ＴＫさんの考えでは、数直線上で
ｘ＝－ａがｘ＝－１とｘ＝ａの中点であるということになります。
しかし
ａが大きくなると－ａは小さくなる
数直線で考えると
ａが右に動く（１に近づく）と
－ａは左に動く（－１に近づく）
だから常に中点だということにはなりません。
なんとなく図形の対象性（らしきもの）から－ａが中点ならば
面積が等しくなりそうだ・・・
という気持はわかりますが
問題は、「面積が等しくなるａは？」ですから
それでは回答にはなりませんね。

ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｘ^2
ｇ（ｘ）＝ａ^2（ｘ＋１）　とおくと
ｆ（ｘ）のｘ＝－１における微分係数は１なので
ｘ＝－１における接線の傾きは１
しかし、０＜ａ^2＜１なのでｇ（ｘ）が接することはありません。
また、傾きが０になることもありません。
だから、ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）は必ず３点で交わります。

ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）を－１から－ａまで定積分した値と
ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）を－ａからａまで定積分した値
この２つの値が等しくなるようなａを求めることになると思います。

やってみると
（ａ＋１）^3｛ａ－（１／３）｝＝０となって
０＜ａ＜１から
ａ＝１／３となりました。

ちなみに対象性は
この３次曲線をｘ軸方向に１／３
ｙ軸方向に（１／３）^3＋（１／３）^2＝４／２７
だけ平行移動すると
ｙ＝ｘ^3－（ｘ／３）となって
ｙ＝ｈ（ｘ）とすると
ｈ（－ｘ）＝－ｈ（ｘ）なので
確かに原点に関して対象になります

y=\(x^{3}\)+\(x^{2}\)-\(a^{2}\)(x+1)=(x+1)(x+a)(x-a)
y'=3\(x^{2}\)+2x+\(a^{2}\)
x=α,βのとき、極値をとるとすると、
解と係数の関係より、α+β=-\(\frac{2}{3}\)となる。
だから、x=-\(\frac{1}{3}\)の時のyの値をy0とすると、
(-\(\frac{1}{3}\),y0)に関して、３次関数のグラフが点対称になる。
y0=0となるとすると、(-\(\frac{1}{3}\)\()^{3}\)+(-\(\frac{1}{3}\)\()^{2}\)-\(a^{2}\)(-\(\frac{1}{3}\)+1)=0
a=\(\frac{1}{3}\)となる。このとき、[-1,-\(\frac{1}{3}\)]でのグラフと、
[-\(\frac{1}{3}\),\(\frac{1}{3}\)]でのグラフは合同だから、面積は等しい。
だから、a=\(\frac{1}{3}\)は１つの答である。

色々と教えていただき、ありがとうございました。
色々、学校の数学の先生と考えてみたところ、答えは対象点以外にないことが
一般的に三次関数と、動く直線に対して存在しない事がわかりました。

三次関数は一般的に、a(x-p\()^{3}\)+b(x-p)+qと書けるので、必ず対象点を持ちます。

-1から-aまでの囲まれた面積をS1,-aからaまでの囲まれた面積をS2とします。

この場合の対象点はｘ＝-\(\frac{1}{3}\)上にあります。
（これは、(a-1)/2=-aを解けば出てきます）
この点を通る場合のS1=S2=Sとおきます。


もし、-a＜-\(\frac{1}{3}\)ならば、グラフを書くと、S1＜S＜S2である事が分かるので、不適。
-a＞-\(\frac{1}{3}\)とすると同様に、S1＞S＞S2となるので、不適。

よって、-a=-\(\frac{1}{3}\)で、a=\(\frac{1}{3}\)となる。

という事でよさそうです。

投稿ありがとうございました。
おかげさまで問題が解決しました。