いつも、お世話になってます。よろしくお願いします。
方程式、X3乗-３X2乗＋aX+b=０…①の解の1つが、
1-2iであるとき、実数a,bの値を求めよ。また、他の解を求めよ。
この問題の途中で、①の左辺はX2乗ー２X＋５=０で割り切れる。
←何故そうなるのかわかりません。
あとこの後、余りは（a-7)X+b+5
これが０だから、(a-7)=0 b+5=0
となる。何故、(a-7)=0 b+5=0になるのかわかりません。
どうぞ、解答の方よろしくお願いします。
いつも、お世話になってます。よろしくお願いします。
方程式、X3乗-３X2乗＋aX+b=０…①の解の1つが、
1-2iであるとき、実数a,bの値を求めよ。また、他の解を求めよ。
この問題の途中で、①の左辺はX2乗ー２X＋５=０で割り切れる。
←何故そうなるのかわかりません。
あとこの後、余りは（a-7)X+b+5
これが０だから、(a-7)=0 b+5=0
となる。何故、(a-7)=0 b+5=0になるのかわかりません。
どうぞ、解答の方よろしくお願いします。
ｘ3 －３ｘ2 ＋ａｘ＋ｂ＝０の１つの解が１－２ｉだから、
ｘ＝１－２ｉより、
ｘ－１＝－２ｉ
両辺を２乗して
（ｘ－１）2 ＝（－２ｉ）2
ｘ2 －２ｘ＋１＝４ｉ2
ｉ2 ＝－１より、
ｘ2 －２ｘ＋１＝－４
ｘ2 －２ｘ＋１＋４＝０
ｘ2 －２ｘ＋５＝０
この２次方程式の解は、問題の３次方程式の解ともなる。
ｘ＝－（－１）\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（１－５）＝１\(\pm\)２ｉ
よって、もう１つの解は１＋２ｉとなる。……（答）
３番目の解は、問題の３次方程式を、この２次方程式で割って、因数分解して
求められる。
ｘ －１
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ2 －２ｘ＋５）ｘ3 －３ｘ2 ＋ａｘ ＋ｂ
ｘ3 －２ｘ2 ＋５ｘ
───────────────
－ｘ2 ＋（ａ－５）ｘ＋ｂ
－ｘ2 ＋ ２ｘ －５
─────────────
（ａ－７）ｘ＋ｂ＋５
因数分解できるのは、この割り算の余りが０となるときだから、
（ａ－７）ｘ＋ｂ＋５＝０
すべてのｘについてこれが成り立つのは、ｘの係数と定数項が同時に０となる
ときだから、
｛ａ－７＝０
｛ｂ＋５＝０
∴ａ＝７，ｂ＝－５……（答）
因数分解して、
ｘ3 －３ｘ2 ＋ａｘ＋ｂ＝（ｘ2 －２ｘ＋５）（ｘ－１）＝０
３番目の解はｘ－１＝０より、
∴ｘ＝１……（答）