\(X^{2}\)＋\(Y^{2}\)＝１７６６６
を満たす自然数X、Yをすべて求めよ。
という問題なんですが、
イロイロためしたのですがわからないので教えてください。
★希望★完全解答★
\(X^{2}\)＋\(Y^{2}\)＝１７６６６
を満たす自然数X、Yをすべて求めよ。
という問題なんですが、
イロイロためしたのですがわからないので教えてください。
★希望★完全解答★
この問題に関しては次のように考えてみました。
１７６６６＝１１＾２×１４６なので
１７６６６＝１１＾２×（ｍ＾２＋ｎ＾２）
の形になれば、ｘ＾２＋ｙ＾２の形にできます。
ｍ＾２＋ｎ＾２＝１４６としてかんがえると
ｍ＝５、ｎ＝１１よって
ｘ＝５５、ｙ＝１２１・・・（答）
もうすこしエレガントな解答を私も知りたいです。
(x + iy) * (x - iy) = 17666 = 2 * 73 * 11 * 11
= (1 + i) * (1 - i) * (8 + 3i) * (8 - 3i) * 11 * 11.
x + iy = (1 + i) * (8 + 3i) * 11 = 55 + 121i
または
x + iy = (1 + i) * (8 - 3i) * 11 = 121 + 55i
したがって
(x, y) = (55, 121) または (121, 55).
Z[i] の Ideal の言葉で言えば、(2) が分岐、(73) が完全分解、(11) が素。