まず絶対値について次の2点を抑えておきましょう。
①の１│ｘ│＝ｘ（ｘが正のとき）
①の２　│ｘ│＝－ｘ（ｘが負のとき）

②│ｘ│＾２＝ｘ＾２

解答
まず両辺を２乗します。
②より
左辺＝││ｘ│－２│＾２＝（│ｘ│－２）＾２
　　＝│ｘ│＾２－４│ｘ│＋４
　　＝ｘ＾２－４│ｘ│＋４（また②を使ってマス）
右辺はルートがとれるだけなので
ｘ＾２－４│ｘ│＋４＝│ｘ＾２－４ｘ│＋４
よって　ｘ＾２－４│ｘ│＝│ｘ＾２－４ｘ│

（ここから、絶対値を「はずす」ために「①を使って場合わけ」をします。）

(ｱ)ｘ＜０のとき
　│ｘ│＝－ｘ（①の２）
　│ｘ＾２－４ｘ│＝ｘ＾２－４ｘ
（絶対値の中が正になるので①の１の場合になります。
わかりにくければｘに何か負の数を入れてみてください）
よってｘ＾２＋４ｘ＝ｘ＾２－４ｘとなります
コレを解くとｘ＝０となるのですが(ｱ)の範囲外ですね。

(ｲ)０≦ｘ＜４のとき
│ｘ│＝ｘ（①の１）
│ｘ＾２－４ｘ│＝－（ｘ＾２－４ｘ）（①の２）
よってｘ＾２－４ｘ＝－（ｘ＾２－４ｘ）
コレを解くとｘ＝０，４となりますが(ｲ)の範囲から考えてｘ＝０が正解。

(ｳ)４≦ｘのとき
│ｘ│＝ｘ（①の１）
│ｘ＾２－４ｘ│＝ｘ＾２－４ｘ（①の１）
よってｘ＾２－４ｘ＝ｘ＾２－４ｘ
コレはどんなｘについても成り立ちます。
ですからｘが４以上のときは、すべてのｘについて成り立つ、となります。
(ｱ)(ｲ)(ｳ)より
ｘ＝０または４≦ｘのすべての実数（答）となります。

なぜ、０と４で区切って考えたかはわかりますか？
絶対値の中身　ｘ＾２－４ｘ＞０または＜０を考えてみてください。
場合わけをする場合、イコールはどちら側に入れてもよいと思います。

長くなりましたが、参考にしてください。