(1)
lo\(g_{10}\) 2が有理数と仮定する。

lo\(g_{10}\) 2=\(\frac{n}{m}\)　(nとmは自然数)と書ける。
10^(\(\frac{n}{m}\))=2だから
1\(0^{n}\)=\(2^{m}\)となる
1\(0^{n}\)は5で割り切れるのに、\(2^{m}\)は5では割り切れないから不合理

したがって、lo\(g_{10}\) 2は無理数である。

(2)
10^(10*lo\(g_{10}\) 2)={10^(lo\(g_{10}\) 2)}^10=\(2^{10}\)=1024＞1000=1\(0^{3}\)となるから、
10*lo\(g_{10}\) 2＞3

したがって、lo\(g_{10}\) 2＞\(\frac{3}{10}\)

(3)
1\(0^{m}\) ＜ \(2^{n}\) ＜ 10^(m+1)
logをとると
m＜n*lo\(g_{10}\) 2＜m+1

m/(lo\(g_{10}\) 2)＜n＜m/(lo\(g_{10}\) 2)+1/（lo\(g_{10}\) 2）＜m/(lo\(g_{10}\) 2)+\(\frac{10}{3}\)＜m/(lo\(g_{10}\) 2)+4

したがって、
1\(0^{m}\) ＜ \(2^{n}\) ＜ 10^(m+1) を満たす自然数nは4個以下であることが示された。