四角形ABCDは円に内接するから
∠ABC=θより∠ADC=180°-θ
△ABCにおいて余弦定理より
A\(C^{2}\)=\(a^{2}\)＋\(b^{2}\)－2abcosθ・・・①
△ADCにおいて同様に
A\(C^{2}\)=\(c^{2}\)＋\(d^{2}\)－2cdcos(180°-θ)
　　=\(c^{2}\)＋\(c^{2}\)＋2cdcosθ・・・②
①②より
\(a^{2}\)＋\(b^{2}\)－2abcosθ=\(c^{2}\)＋\(d^{2}\)＋2cdcosθ
∴cosθ=(\(a^{2}\)＋\(b^{2}\)－\(c^{2}\)－\(d^{2}\))/{2(ab+cd)}
si\(n^{2}\)θ=1-co\(s^{2}\)θとa+b+c+d=2sより
（途中計算省略）
si\(n^{2}\)θ＝4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)/(ab+cd\()^{2}\)
0＜θ＜180°よりsinθ＞0
∴sinθ=2\(\sqrt{\quad}\){(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}/(ab+cd)
S=△ABC+△adc
=(\(\frac{1}{2}\))absinθ+(\(\frac{1}{2}\))cdsin(180°-θ)
=(\(\frac{1}{2}\))(ab+cd)sinθ
=\(\sqrt{\quad}\)(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) （証明終り）