回数の期待値を、ということですから
「回数×確率」の和、で求めます。

（あ）3回で終わる場合
赤赤赤か白白白ですから
(\(\frac{4}{6}\)\()^{3}\)＋(\(\frac{2}{6}\)\()^{3}\)＝\(\frac{9}{27}\)＝\(\frac{1}{3}\)

（い）４回で終わる場合
(1)３回目まで赤２回、白１回ときて、４回目が赤
3C1×(\(\frac{4}{6}\)\()^{2}\)×(\(\frac{2}{6}\)\()^{1}\)×(\(\frac{4}{6}\))＝\(\frac{8}{27}\)
(2)３回目まで赤１回、白２回ときて、４回目が白
3C1×(\(\frac{4}{6}\)\()^{1}\)×(\(\frac{2}{6}\)\()^{2}\)×(\(\frac{2}{6}\))＝\(\frac{2}{27}\)
あわせて\(\frac{8}{27}\)+\(\frac{2}{27}\)＝\(\frac{10}{27}\)

（う）５回で終わる場合
(1)４回目まで赤２回、白２回ときて、５回目が赤
4C2×(\(\frac{4}{6}\)\()^{2}\)×(\(\frac{2}{6}\)\()^{2}\)×(\(\frac{4}{6}\))＝\(\frac{16}{81}\)
(2)４回目まで赤２回、白２回ときて、５回目が白
4C2×(\(\frac{4}{6}\)\()^{2}\)×(\(\frac{2}{6}\)\()^{2}\)×(\(\frac{2}{6}\))＝\(\frac{8}{81}\)
あわせて\(\frac{16}{81}\)+\(\frac{8}{81}\)＝\(\frac{24}{81}\)=\(\frac{8}{27}\)

（どんな場合も５回目までで終了しますので、
「6回目以降で終了」ということはありません）

（あ）（い）（う）より
３×\(\frac{1}{3}\)＋４×\(\frac{10}{27}\)＋５×\(\frac{8}{27}\)＝\(\frac{107}{27}\)（回）
　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(答)