ベクトルの→は省略します。

ａ・ｂ＝２・・①
ａとｂのなす角をθとすると
｜ａ｜＝\(\sqrt{\quad}\)５　｜ｂ｜＝\(\sqrt{\quad}\)５／２　より
ａ・ｂ＝（５／２）ｃｏｓθ・・②
①②より
ｃｏｓθ＝４／５
０°＜θ＜１８０°より　０°＜θ／２＜９０
ｃｏｓ^2（θ／２）＝（１＋ｃｏｓθ）／２＝９／１０
よってｃｏｓ（θ／２）＝３／\(\sqrt{\quad}\)１０
したがってｓｉｎ(θ／２）＝１／\(\sqrt{\quad}\)１０
ｂとｘ軸のなす角をαとすると０°＜α＜９０°
ｔａｎα＝１／２よりｃｏｓα＝２／\(\sqrt{\quad}\)５
したがってｓｉｎα＝１／\(\sqrt{\quad}\)５
ｃｏｓ｛（θ／２）＋α｝
＝ｃｏｓ（θ／２）ｃｏｓα－ｓｉｎ（θ／２）ｓｉｎα
＝１／\(\sqrt{\quad}\)２
従って
ｓｉｎ｛（θ／２）＋α｝＝１／\(\sqrt{\quad}\)２
以上から求める単位ベクトルは
（１／\(\sqrt{\quad}\)２，１／\(\sqrt{\quad}\)２）・・・（答）

（別解）このほうがいいかも・・・
原点をＯとして
Ａ（１，２）、Ｂ（１，１／２）とする
∠ＡＯＢの二等分線と直線(線分）ＡＢの交点をＱとする
｜ＯＡ｜＝\(\sqrt{\quad}\)５、｜ＯＢ｜＝\(\sqrt{\quad}\)５／２
ＡＱ：ＢＱ＝ＯＡ：ＯＢ＝２：１
よって点Ｑは線分ＡＢを２：１に内分するから
点Ｑの座標は（１，１）
求めるのはベクトルＯＱと同じ向きの単位ベクトルだから
｜ＯＱ｜＝\(\sqrt{\quad}\)２より
求める単位ベクトルは
（１／\(\sqrt{\quad}\)２，１／\(\sqrt{\quad}\)２）・・・（答）

後半は
ａ・ｂ＝２ｘ＋４・・①
また
ａ・ｂ＝２\(\sqrt{\quad}\)２・\(\sqrt{\quad}\)（ｘ^2＋４）ｃｏｓ６０°
　　　＝\(\sqrt{\quad}\)２・\(\sqrt{\quad}\)（ｘ^2＋４）・・②
②からａ・ｂ＞０なので
①より２ｘ＋４＞０すなわちｘ＞－２
また①②から
２（ｘ^2＋４）＝（２ｘ＋４）^2
これを解いて、ｘ＞－２より
ｘ＝－４＋２\(\sqrt{\quad}\)３・・・（答）