差分方程式 f(n+2)+f(n+1)-12f(n)=20について、答えよ。
(1)f(n)=c(cはnに依らない定数)が1つの特殊解としてcをもとめよ。
(2)一般解を求めよ。
(3)初期条件f(0)=1,f(1)=2を満たす解を求めよ。
★希望★答え希望★
差分方程式 f(n+2)+f(n+1)-12f(n)=20について、答えよ。
(1)f(n)=c(cはnに依らない定数)が1つの特殊解としてcをもとめよ。
(2)一般解を求めよ。
(3)初期条件f(0)=1,f(1)=2を満たす解を求めよ。
★希望★答え希望★
（１）
ｆ（ｎ）＝ｃとするとき、
ｃ＋ｃ－１２ｃ＝２０
∴ｃ＝－２ ……（答）
（２）
ｆ（ｎ＋２）＋ｆ（ｎ＋１）－１２ｆ（ｎ）＝０として、
ｆ（ｎ）＝ρ^n とおくと
ρ^(n+2)＋ρ^(n+1)－１２ρ^n＝０
ρ^n（ρ^2＋ρ－１２）＝０
ρ^n＞０より、ρ^2＋ρ－１２＝０（特性方程式という。＜２７８＞参照）
（ρ＋４）（ρ－３）＝０
∴ρ＝－４，３
したがって、
ｆ（ｎ）＝Ｃ1（－４）^n＋Ｃ2（３）^n －２ ……（答）
（３）
ｆ（０）＝１より、Ｃ1＋Ｃ2 －２＝１ ………①
ｆ（１）＝２より、－４Ｃ1＋３Ｃ2 －２＝２………②
①×３－②
３Ｃ1＋３Ｃ2 ＝９
－）－４Ｃ1＋３Ｃ2 ＝４
――――――――――――
７Ｃ1 ＝５
５
∴Ｃ1＝―― ………③
７
③を①に代入して、
５ １６
―＋Ｃ2＝３ ∴Ｃ2＝――
７ ７
したがって、
５ １６
ｆ（ｎ）＝―（－４）^n ＋――（３）^n －２ ……（答）
７ ７