①
複素数平面上で、原点Ｏと異なる点Ａ(a)通りＯＡベクトルに垂直な直線
をLaとし、点P(z)をLaに関して対称移動した点を表す複素数をZaとおく。
（１）ZaをZ,Zバー(共役複素数）、a,aバー（共役複素数）のうち適当な
ものを用いて表せ
（２）原点を中心とする半径１の円周上に頂点がある正三角形ＢＣＤがあ
る。ただし、B(β）、C(γ)、D(δ)とするとき、
0°≦argβ＜argγ＜argδ＜360°である。
zが△BCDの辺上を動くとき｜Zβ-Zδ|が最小となるzを求めよ
またそのときのargzをargβで表せ
②
xy平面上に円Ｃ：\(X^{2}\)＋\(Y^{2}\)=1がある。
点P(p,2p)(pは１、-1でない,|p|>1÷\(\sqrt{\quad}\)5)を通るCの2接線
と直線L:Y=2x-3 との交点をQ,Rとするとき、
三点P,Q,Rを通りy軸に平行な軸をもつ放物線の
方程式をPを用いて表せ。
大学の複素数の問題でしょうか？「高校数学の窓」では難しくて、
解けそうにありませんでしたが、以前同じような問題の質問が来た
とき、購入した梅沢敏夫・後藤達生共著「複素数と幾何学」（培風
館）を覗いたところ使えそうな内容がありましたので、そこから類
推して解いてみました。合っているかどうかは分かりませんが、参
考にはなるでしょう。
問１(1)
原点と点Ｂ(2a)を結んだＯＢの中点Ａ(a)を通る垂直二等分線は複素
数の世界では、次のように表される。
＿ ＿
Ｌａ：ｚ／２ａ＋ｚ／２ａ＝１
＿
したがって、両辺に２ａａをかけると、
＿ ＿ ＿
ａｚ＋ａｚ＝２ａａ……①
この①に直交する直線で、点Ｑ(Za)を通るのは
＿ ＿ ＿ ＿
ａｚ－ａｚ＝ａZa－ａZa……②
①と②の交点Ｈ(h)は、連立させて、①＋②より
＿ ＿ ＿ ＿
２ａｚ＝２ａａ＋ａZa－ａZa
＿ ＿ ＿ ＿
２ａｈ＝２ａａ＋ａZa－ａZa……③
点ＨはＰＱの中点だから、
ｚ＋Za ＿ ＿ ＿
ｈ＝───より、２ａｈ＝ａｚ＋ａZa……④
２
③と④より、
＿ ＿ ＿ ＿ ＿
ａｚ＋ａZa＝２ａａ＋ａZa－ａZa
＿ ＿ ＿
ａｚ＝２ａａ－ａZa
＿ ＿ ＿
ａZa＝２ａａ－ａｚ
両辺に共役複素数をとると、
＿ ＿ ＿
ａZa＝２ａａ－ａｚ
したがって、
＿ ＿
Za＝２ａ－（ａ／ａ）ｚ……（答）
問１(2)
｜ｚβ－ｚδ｜＝｜（ｚβ－ｚγ）＋（ｚγ－ｚδ）｜
≦｜ｚβ－ｚγ｜＋｜ｚγ－ｚδ｜
＝｜ｚ（β－γ）｜＋｜ｚ（γ－δ）｜
＝｜ｚ｜・｜β－γ｜＋｜ｚ｜｜γ－δ｜
｜β－γ｜や｜γ－δ｜は△ＢＣＤの辺の長さだから\(\sqrt{\quad}\)３より、
｜ｚβ－ｚδ｜≦２\(\sqrt{\quad}\)３｜ｚ｜
｜ｚ｜が最小となるのは、図のｚの場所（三ヶ所ある）だから、
｜ｚ｜＝１／２より、ａｒｇβ＝θとすると、
１ π π
ｚ＝─｛cos(θ＋─)＋ｉsin（θ＋─)｝
２ ３ ３
または
１ ３π ３π
ｚ＝─｛cos(θ＋──)＋ｉsin（θ＋──)｝
２ ３ ３
または
１ ５π ５π
ｚ＝─｛cos(θ＋──)＋ｉsin（θ＋──)｝
２ ３ ３
ｎπ
ａｒｇｚ＝ａｒｇβ＋──（ただし、ｎ＝１，３，５）
３
問２
円ｘ2 ＋ｙ2 ＝１上の接点（ａ，ｂ）とすると、
ａ2 ＋ｂ2 ＝１……①
円の接線の公式より、ａｘ＋ｂｙ＝１
点Ｐ（ｐ、２ｐ）を通るから
ａｐ＋ｂ２ｐ＝１……②
①と②より、
ａ＝（１－２ｂｐ）／ｐ
（１－２ｂｐ）2 ＋（ｂｐ）2 ＝ｐ2
１－４ｂｐ＋４（ｂｐ）2 ＋（ｂｐ）2 －ｐ2 ＝０
５ｐ2 ｂ2 －４ｐｂ＋１－ｐ2 ＝０
ｂの２次方程式だから、解の公式より、
２ｐ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)｛４ｐ2 －５ｐ2 （１－ｐ2 ）｝
ｂ＝───────────────────
５ｐ2
２ｐ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（－ｐ2 ＋５ｐ4 ）
＝─────────────
５ｐ2
２ｐ\(\pm\)ｐ\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１）
＝─────────────
５ｐ2
２\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１）
＝───────────
５ｐ
したがって、
－１\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１）
ａ＝───────────
－５ｐ
２つの接線の方程式は
－１\(\pm\)２\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１） ２\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１）
───────────ｘ＋───────────ｙ＝１
－５ｐ ５ｐ
これと与えられた直線ｙ＝２ｘ－３との交点Ｒ，Ｑは、連立して
５ｐ＋６＋３\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１） １０ｐ－３＋６\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１）
Ｒ（──────────────，──────────────）
５ ５
５ｐ＋６－３\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１） １０ｐ－３－６\(\sqrt{\quad}\)（５ｐ2 －１）
Ｑ（──────────────，──────────────）
５ ５
この２点とＰ（ｐ，２ｐ）を放物線ｙ＝ａｘ2 ＋ｂｘ＋ｃに代入して、
連立すると（計算が大変なので、省略）
１
ｙ＝────｛５ｘ2 －（６ｐ2 ＋１０ｐ＋６）ｘ＋（５ｐ2 ＋１２ｐ）｝……（答）
３－３ｐ2