x≧1のとき、e^(-\(x^{2}\))≦xe^(-\(x^{2}\))であることを用いて、次の不等式を示せ。
∫［０，∞］e^(-\(x^{2}\))ｄｘ＜1+(\(\frac{1}{2}\)e)
という問題に苦労してます・・。宜しくお願い致します。
★希望★完全解答★
x≧1のとき、e^(-\(x^{2}\))≦xe^(-\(x^{2}\))であることを用いて、次の不等式を示せ。
∫［０，∞］e^(-\(x^{2}\))ｄｘ＜1+(\(\frac{1}{2}\)e)
という問題に苦労してます・・。宜しくお願い致します。
★希望★完全解答★
∫［0，∞］e^(-\(x^{2}\))dx
＝∫［0，1］e^(-\(x^{2}\))dx＋∫［1，∞］e^(-\(x^{2}\))dx
第2項に与えられた関係式を用いる
＝∫［0，1］e^(-\(x^{2}\))dx＋∫［1，∞］xe^(-\(x^{2}\))dx
第1項目は被積分関数y=e^(-\(x^{2}\))はx＞0で減少関数（微分してみればわかる）
なので、e^(-\(x^{2}\))≦１
第2項目は積分できて-0.5e^(-\(x^{2}\))だから、その値は
1/(2e)
以上のことから、∫［０，∞］e^(-\(x^{2}\))ｄｘ＜1+(\(\frac{1}{2}\)e)
を導ける。
注)\(\frac{1}{2}\)eは1/(2e)と解釈でよろしいのですよね。