はじめまして、某県の公立高校生です。
さっそくですが下の問題をお願いします。
nを自然数とする。\(\sqrt{\quad}\)nが自然数となるならば、
\(\sqrt{\quad}\)(n+1)が無理数であることを証明せよ。
という問題でまず\(\sqrt{\quad}\)(n+1)を有理数であると仮定して、
\(\sqrt{\quad}\)(n+1)=kとして両辺二倍してn+1=\(k^{2}\)みたいにして矛盾を導くんだろうなぁ
というところから先がまったく分かりません！
全体を通してヒントやコツなんかを教えていただければ幸いです。
★希望★ヒント希望★
ヒントということなので
\(\sqrt{\quad}\)(n+1)が有理数であると仮定・・・
ここまではいいと思います。
ところが
\(\sqrt{\quad}\)(n+1)=kとして両辺二倍してn+1=\(k^{2}\)・・・
これがまずい・・・
有理数であると仮定して矛盾を導く場合
○○＝ｑ／ｐ（ｐとｑは互いに素な整数）
とおいて矛盾を導きます
この問題の場合はｐ，ｑは互いに素な「自然数」でいいでしょう。
\(\sqrt{\quad}\)△は正の数なので・・
\(\sqrt{\quad}\)nが自然数であると言うことは、nが平方数だということになります。
すなわちｋを整数としてｎ＝ｋ^2とおけるわけです
つまり
ｎ＋１＝ｋ^2＋１＝ｑ^2／ｐ^2としてみてください
背理法
\(\sqrt{\quad}\)nは、自然数だが、\(\sqrt{\quad}\)(n+1)は有理数であるとする。
仮定より、\(\sqrt{\quad}\)n=kとすると、n=\(k^{2}\)
\(\sqrt{\quad}\)(n+1)=\(\sqrt{\quad}\)(\(k^{2}\)+1)=\(\frac{p}{q}\)(p,qは、自然数)となる。
\(k^{2}\)+1=(\(\frac{p}{q}\)\()^{2}\)となり、左辺が自然数だから、\(\frac{p}{q}\)も自然数となる。
\(\frac{p}{q}\)=mとする。
\(k^{2}\)+1=\(m^{2}\)
1=\(m^{2}\)-\(k^{2}\)=(m+k)(m-k)
よって、
「m+k=1且つm-k=1」または「m+k=-1且つm-k=-1」
解は、(m,k)=(1,0),(-1,0)
自然数を１以上の整数と考えれば、矛盾である。
よって、\(\sqrt{\quad}\)(n+1)は無理数である。