自然数を要素とする集合Aに対して、Aに属する偶数ｎをそれぞれｎ/2で置き
換える演算をfと置く

要するに、nが偶数のときf(n)=\(\frac{n}{2}\)、
nが奇数のときf(n)=n

(1)
集合(A∩B)'の元xを任意にとる
x=f(y)となるような、A∩Bの元yが必ず存在する。

f(y)=yのとき
(yが奇数のとき)
x=y=f(y)∈A'、x=y=f(y)∈B'

f(y)=\(\frac{y}{2}\)のとき
(yが偶数のとき)
x=\(\frac{y}{2}\)=f(y)∈A'、x=\(\frac{y}{2}\)=f(y)∈B'

いずれにしても、x∈A'∩B'となる。
よって、(A∩B)'⊂A'∩B'が示された。

(2)
7はBの元ではないので
A∩B⊂{2,3,4}
f(2)=1、f(3)=3、f(4)=2だから
(A∩B)'⊂{1,2,3}
よって7は(A∩B)'の元ではない。

14はBの元だからf(14)=7∈B'
f(7)=7だからf(7)=7∈A'
よって7∈A'∩B'

したがって7はA'∩B'の元だが、(A∩B)'の元ではない。
よって、(A∩B)'≠A'∩B'が示された。

(3)
A＝A'と仮定する
Aの中で最小の元zをとる
zは偶数だから
f(z)=\(\frac{z}{2}\)∈A'＝A
よって\(\frac{z}{2}\)もAの要素となるが、\(\frac{z}{2}\)＜zだから
zがAの最小の元であることに反する。
よってA≠A'が示された。

\(\frac{z}{2}\)＜z

「例えばA＝｛３，４，６，７，８｝の時、A’＝｛２，３，４,７｝である。」、
「（２）A’＝｛２，３，４，７｝で、７はBに含まれず、かつ１４∈Bであるとき、
（A∩B）’≠A’∩B’を示せ。」でした。
重ね重ねすいません。

この問題はもう解決済ですね。