GL(n,C)に値をとる微分可能関数U(t)に対して
(U(t)^-1)'=-(U(t))^-1*(U(t))'*(U(t))^-1をしめせ。
またこれを用いて次の補題を示せ
補題
U(t),V(t)が共に方程式(U(t))'=A(t)*U(t)
(V(t))'=A(t)*V(t)をみたしdet(U(t))≠0,det(V(t))≠0なら、
あるW∈GL(n,C)に対しU(t)=V(t)*W
の問題がまったくわかりません。
詳しすぎるくらいの完全解答をお願いできないでしょうか？
申し訳ありません。
★希望★完全解答★
※Ｘの逆行列を inv(Ｘ) と表記します
行列Ａ(t), Ｂ(t) に関して、積の微分を考えると、
(Ａ(t)・Ｂ(t))' = Ａ'(t)・Ｂ(t) + Ａ(t)・Ｂ'(t)
では、等式 Ｕ(t)・inv(Ｕ(t)) = Ｅ (単位行列) の両辺を微分すると、
Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t)) + Ｕ(t)・inv(Ｕ(t))' = Ｏ (零行列)
⇔ Ｕ(t)・inv(Ｕ(t))' = - Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t))
⇔ inv(Ｕ(t))・Ｕ(t)・inv(Ｕ(t))' = - inv(Ｕ(t))・Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t))
⇔ inv(Ｕ(t))' = - inv(Ｕ(t))・Ｕ'(t)・inv(Ｕ(t))
補題に関して
「ある行列Ｗが存在して、Ｕ(t)=Ｖ(t)・Ｗ」
を、
「ある行列Ｗが存在して、inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) = Ｗ」
更に、Ｗは t に依存しない行列であることから
「( inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) )' = Ｏ (零行列)」
と考える。
証明は逆順で書いていく。
( inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) )'
= inv(Ｖ(t))'・Ｕ(t) + inv(Ｖ(t))・Ｕ'(t)
= - inv(Ｖ(t))・Ｖ'(t)・inv(Ｖ(t))・Ｕ(t)
+ inv(Ｖ(t))・Ｕ'(t)
= - inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｖ(t)・inv(Ｖ(t))・Ｕ(t)
+ inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｕ(t)
= - inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｕ(t) + inv(Ｖ(t))・Ａ(t)・Ｕ(t)
= Ｏ
よって、tに依存しないある行列Ｗが存在して、inv(Ｖ(t))・Ｕ(t) = Ｗ
よって、そのＷに関して、Ｕ(t)=Ｖ(t)・Ｗ