問１
（ｘ³ ＋ａｘ² ＋５ｘ＋ｂ）÷（ｘ－１）² より、

　　　　　　　　ｘ＋（ａ＋２）
　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ² －２ｘ＋１）ｘ³ 　＋ａｘ² 　　＋５ｘ　　　　　　＋　ｂ
　　　　　　　　ｘ³ 　－２ｘ² 　　＋　ｘ
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　（ａ＋２）ｘ² 　　＋４ｘ　　　＋ｂ
　　　　　　　　　　（ａ＋２）ｘ² －２（ａ＋２）ｘ＋（ａ＋２）
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　（８＋２ａ）ｘ　＋ｂ－ａ－２

割り切れるから、連立して
｛８＋２ａ＝０
｛ｂ－ａ－２＝０
∴ａ＝－４，ｂ＝－２……（答）

問２
３次式より、Ｐ（ｘ）＝ａｘ³ ＋ｂｘ² ＋ｃｘ＋ｄとおくと、
Ｐ（ｘ）÷（ｘ² －ｘ＋１）＝Ｑ₁ （ｘ）……（－８ｘ＋１）より、

　　　　　　　ａｘ＋（ｂ＋ａ）
　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ² －ｘ＋１）ａｘ³ 　＋ｂｘ² 　　＋ｃｘ　　　　　　＋　ｄ
　　　　　　　ａｘ³ 　－ａｘ² 　　＋ａｘ
　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　（ｂ＋ａ）ｘ² ＋（ｃ－ａ）ｘ　　　＋　ｄ
　　　　　　　　　（ｂ＋ａ）ｘ² －（ｂ＋ａ）ｘ　＋（ｂ＋ａ）
　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｃ＋ｂ）ｘ　＋ｄ－ｂ－ａ

余りと比べて、連立して、
｛ｃ＋ｂ＝－８　……①
｛ｄ－ｂ－ａ＝１……②

また、Ｐ（ｘ）÷（３ｘ² ＋ｘ＋１）＝Ｑ₂ （ｘ）……（－６ｘ－３）より、

　　　　　　　（ａ／３）ｘ＋（ｂ／３－ａ／９）
　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
３ｘ² ＋ｘ＋１）ａｘ³ 　　＋ｂｘ² 　　　　＋ｃｘ　　　　＋ｄ
　　　　　　　　ａｘ³ ＋（ａ／３）ｘ² ＋（ａ／３）ｘ
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　(b-\(\frac{a}{3}\))ｘ² 　＋(c-\(\frac{a}{3}\))ｘ　　　＋ｄ
　　　　　　　　　　　　　(b-\(\frac{a}{3}\))ｘ² ＋(\(\frac{b}{3}\)-\(\frac{a}{9}\))ｘ＋(\(\frac{b}{3}\)-\(\frac{a}{9}\))
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(c-\(\frac{b}{3}\)-2\(\frac{a}{9}\))ｘ＋d-\(\frac{b}{3}\)+\(\frac{a}{9}\)

余りと比べて、連立して、
｛ｃ－ｂ／３－２ａ／９＝－６
｛ｄ－ｂ／３＋ａ／９＝－３
２つの式に９をかけて、
｛９ｃ－３ｂ－２ａ＝－５４……③
｛９ｄ－３ｂ＋ａ＝－２７　……④

④－②×９より、６ｂ＋１０ａ＝－３６……⑤
③－①×９より、－１２ｂ－２ａ＝１８……⑥
⑤×２＋⑥より、１８ａ＝－５４　∴ａ＝－３……⑦
⑦を⑤に代入して、６ｂ－３０＝－３６　６ｂ＝－６　∴ｂ＝－１……⑧
⑦⑧を③に代入して、９ｃ＋３＋６＝－５４
　　　　　　　　　　９ｃ＝－６３　∴ｃ＝－７……⑨
⑦⑧を④に代入して、９ｄ＋３－３＝－２７
　　　　　　　　　　９ｄ＝－２７　∴ｄ＝－３
したがって、
Ｐ（ｘ）＝－３ｘ³ －ｘ² －７ｘ－３……（答）