(1) 単射で全射なら全単射です。定義です。
(2) 必要十分条件ですか?
( a b )
( c d ) が正則であること。
(3) a. x**2 / 2 + y**2 / 3 ＜ 1.
b. y = (x**2 - 1) / 2 と y = x**2 / 4 とで囲まれた領域。
但し、境界は y = x**2 / 4 (-sqrt(2) ＜ x ＜ sqrt(2)) のみ含み、
その他は含まず。

Cononymous Award さんの回答に書かれた式が一部間違っていますので，
その訂正および詳解をつけたものを投稿させていただきます。

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\(R^{2}\) は，ふたつの実数 x, y の組の集合です。
いわゆる xy 平面のことだと思って差し支えありません。

1，2 ではいずれも f が 平面上の点を平面上の他の点に写す写像として与えられて
います。
ですから，原点を中心とする単位円の内部 A の点を f で飛ばした先の点の集合
f(A) がどういうものなのかを求めることが問題です。

1. f(x,y)=(X,Y) とおき，(x,y)∈A のとき X と Y の関係がどうなっているかを
調べます。
そうすると，X=2x，Y=3y ですから，x=X/2，y=Y/3 となり，\(x^{2}\)+\(y^{2}\)＜1 なので，
(X,Y) は (X/2\()^{2}\)+(Y/3\()^{2}\)＜1 をみたします。
これは楕円 (\(\frac{x}{2}\)\()^{2}\)+(\(\frac{y}{3}\)\()^{2}\)=1 の内部を表す不等式です。
楕円を表す方程式についてご存じないかもしれませんが，
それはご自分でお調べ下さい。

2. X=x+y, Y=xy とおくと，\(x^{2}\)+\(y^{2}\)=(x+y\()^{2}\)-2xy より，\(X^{2}\)-2Y＜1 となります。
一方，x，y は実数ですから (x-y\()^{2}\)≧0 です。
したがって，(x-y\()^{2}\)=(x+y\()^{2}\)-4xy より，\(X^{2}\)-4Y≧0 でなければなりません。
以上より，ふたつの放物線 y=(\(x^{2}\)-1)/2 と y=\(x^{2}\)/4 で囲まれた部分が
f による A の像 f(A) であることがわかりました。
正確には，y＞(\(x^{2}\)-1)/2 より y=(\(x^{2}\)-1)/2 のグラフの上側であり，
かつ y≦\(x^{2}\)/4 より y=\(x^{2}\)/4 上の点またはそれよりも下にあるような点です。
そしてこれらの交点 (\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)2,\(\frac{1}{2}\)) はどちらも含みません。