c=ABとおきます。

余弦定理より
a{(\(b^{2}\)+\(c^{2}\)-\(a^{2}\))/(2bc)}=b{(\(c^{2}\)+\(a^{2}\)^\(b^{2}\))/(2ca)}
両辺に2abcを掛けると
\(a^{2}\)(\(b^{2}\)+\(c^{2}\)-\(a^{2}\))=\(b^{2}\)(\(a^{2}\)+\(c^{2}\)-\(b^{2}\))

\(a^{2}\)\(c^{2}\)-\(a^{4}\)=\(b^{2}\)\(c^{2}\)-\(b^{4}\)
(\(a^{2}\)-\(b^{2}\))\(c^{2}\)-(\(a^{2}\)-\(b^{2}\))(\(a^{2}\)+\(b^{2}\))=0
(\(a^{2}\)-\(b^{2}\))(\(c^{2}\)-\(a^{2}\)-\(b^{2}\))=0
(a-b)(a+b)(\(c^{2}\)-\(a^{2}\)-\(b^{2}\))=0

aとbは辺の長さだから当然正の数であるので、a+b＞0である。
よってa=bとなるか\(c^{2}\)=\(a^{2}\)+\(b^{2}\)となるかのいずれかである。

したがって、求める三角形はBC＝ACとなる二等辺三角形、あるいは角C=90°
となるような直角三角形である。