問１

２つのグラフの交点は
ｙ＝ｘ² とｙ＝（ｘ－１）² ＋２ａの連立より、
ｘ² ＝（ｘ－１）² ＋２ａ
∴ｘ＝ａ＋１／２
共通接線の方程式は、ｙ＝ｘ² の接点を（α，α² ）とすると、
ｙ′＝２ｘより、傾きは２α
したがって、ｙ－α² ＝２α（ｘ－α）……①
ｙ＝（ｘ－１）² ＋２ａを微分して、
ｙ′＝２（ｘ－１）
共通接線だから、傾きは①と同じ
２（ｘ－１）＝２α
ｘ－１＝α　∴ｘ＝α＋１
放物線ｙ＝（ｘ－１）² ＋２ａの接点は
ｙ＝（α＋１－１）² ＋２ａ＝α² ＋２ａ
このｘとｙを共通接線①に代入すると、
α² ＋２ａ－α² ＝２α（α＋１－α）
２ａ＝２α　∴α＝ａ
共通接線①はｙ＝２ａｘ－ａ² ……②

囲まれた面積Ｓを２つに分けて、
Ｓ₁ ＝∫_a ^{a+\(\frac{1}{2}\)}｛ｘ² －（２ａｘ－ａ² ）｝ｄｘ
　　＝［ｘ³ ／３－ａｘ² ＋ａ² ｘ］_a ^{a+\(\frac{1}{2}\)}

　　　１　　　　１　　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　１
　　＝─｛（ａ＋─）³ －ａ³ ｝－ａ｛（ａ＋─）² －ａ² ｝＋ａ² ｛（ａ＋─）－ａ｝
　　　３　　　　２　　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　２
途中省略
　　＝１／２４
一方
Ｓ₂ ＝∫_{a+\(\frac{1}{2}\)}^a+1｛（ｘ－１）² ＋２ａ－（２ａｘ－ａ² ）｝ｄｘ
　　＝∫_{a+\(\frac{1}{2}\)}^a+1｛ｘ² －２（ａ＋１）ｘ＋（ａ＋１）² ）｝ｄｘ
　　＝［ｘ³ ／３－（ａ＋１）ｘ² ＋（ａ＋１）² ｘ］_{a+\(\frac{1}{2}\)}^a+1
途中省略
　　＝１／２４
したがって、　　　１　　１　　１
Ｓ＝Ｓ₁ ＋Ｓ₂ ＝──＋──＝──　……（答）
　　　　　　　　２４　２４　１２

問２

直線Ｌをｙ＝ａｘ＋ｂとおくと、
交点Ｐ、Ｑはｙ＝ｘ² と連立して、
ｘ² ＝ａｘ＋ｂ
ｘ² －ａｘ－ｂ＝０
この２次方程式の２解をα、βとすると、
解と係数の関係より、
｛α＋β＝ａ
｛αβ＝－ｂ
（β－α）² ＝β² －２αβ＋α²
　　　　　　＝（α＋β）² －４αβ
　　　　　　＝ａ² ＋４ｂ
β－α＝\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋４ｂ）＝Ａとおく。
β² －α² ＝（α＋β）（β－α）＝ａＡ
β³ －α³ ＝（β－α）（β² ＋αβ＋α² ）
　　　　　＝Ａ｛（α² ＋２αβ＋β² ）－αβ｝
　　　　　＝Ａ｛（α＋β）² －αβ｝＝Ａ（ａ² ＋ｂ）

面積Ｓ＝１より、
Ｓ＝∫_α^β｛（ａｘ＋ｂ）－ｘ² ｝ｄｘ
　＝［（ａ／２）ｘ² ＋ｂｘ－（１／３）ｘ³ ］_α^β

　　ａ　　　　　　　　　　　　　　　１
　＝─（β² －α² ）＋ｂ（β－α）－─（β³ －α³ ）
　　２　　　　　　　　　　　　　　　３

　　ａ　　　　　　　　　　１
　＝─（ａＡ）＋ｂ（Ａ）－─｛Ａ（ａ² ＋ｂ）｝
　　２　　　　　　　　　　３

　　Ａ
　＝─（３ａ² ＋６ｂ－２ａ² －２ｂ）
　　６

　　Ａ
　＝─（ａ² ＋４ｂ）＝Ａ／６・Ａ² ＝Ａ³ ／６
　　６
したがって、Ａ³ ／６＝１より、Ａ³ ＝６
｛\(\sqrt{\quad}\)（ａ² ＋４ｂ）｝³ ＝６
ａ² ＋４ｂ＝６^{\(\frac{2}{3}\)}
４ｂ＝－ａ² ＋６^{\(\frac{2}{3}\)}

　　　　ａ² １
∴ｂ＝－─＋─・６^{\(\frac{2}{3}\)} ……①
　　　　４　４
ＰＱの中点Ｍより、ｘ＝（α＋β）／２＝ａ／２……②
点Ｍは直線Ｌ上にあるから、①と②を代入して、
　　　　　　　　　ａ　ａ² 　１
ｙ＝ａｘ＋ｂ＝ａ・─－──＋─・６^{\(\frac{2}{3}\)}
　　　　　　　　　２　４　　４

　　ａ² 　６^{\(\frac{2}{3}\)}
　＝──＋──　……③
　　４　　４

②と③より、
４ｙ＝ａ² ＋６^{\(\frac{2}{3}\)}
　　＝（２ｘ）² ＋６^{\(\frac{2}{3}\)}
ｙ＝ｘ² ＋６^{\(\frac{2}{3}\)}／４
　＝ｘ² ＋（６／８）^{\(\frac{2}{3}\)}
　＝ｘ² ＋（３／４）^{\(\frac{2}{3}\)}
　＝ｘ² ＋（９／１６）^{\(\frac{1}{3}\)}
したがって、
　　　　　　　　　９
ｙ＝ｘ² ＋³ \(\sqrt{\quad}\)（──）　……（答）
　　　　　　　　１６