Ａ　　　　　　　Ｂ　　　　　Ｃｘ＋Ｄ
――――――　＋　―――　＋　――――――　より、
（ｘ－１）^2　　　ｘ－１　　　　ｘ^2＋１
通分して、問題の分子と比べて、
\(x^{3}\)+x-1
＝Ａ（ｘ^2＋１）＋Ｂ（ｘ－１）（ｘ^2＋１）＋（Ｃｘ＋Ｄ）（ｘ－１）^2
＝Ａｘ^2＋Ａ＋Ｂｘ^3－Ｂｘ^2＋Ｂｘ－Ｂ＋（Ｃｘ＋Ｄ）（ｘ^2－２ｘ＋１）
＝Bｘ^3＋(A－B)ｘ^2＋Bｘ＋(A－B)＋Cｘ^3－２Cｘ^2＋Cｘ＋Dｘ^2－２Dｘ＋D
＝(Ｂ＋Ｃ)ｘ^3＋(Ａ－Ｂ－２Ｃ＋Ｄ)ｘ^2＋(Ｂ＋Ｃ－２Ｄ)ｘ＋(Ａ－Ｂ＋Ｄ)
連立方程式にして、
｛Ｂ＋Ｃ＝１　　　　　………①
｛Ａ－Ｂ－２Ｃ＋Ｄ＝０………②
｛Ｂ＋Ｃ－２Ｄ＝１　　………③
｛Ａ－Ｂ＋Ｄ＝－１　　………④
②－④より、
－２Ｃ＝１　∴Ｃ＝－１／２
①に代入して、
Ｂ－１／２＝１　∴Ｂ＝３／２
③に代入して、
３／２－１／２－２Ｄ＝１　∴Ｄ＝０
④に代入して、
Ａ－３／２＋０＝－１　∴Ａ＝１／２

したがって、不定積分は次のようになる。
　　　\(x^{3}\)+x-1　　　　　　　　\(\frac{1}{2}\)　　　　　\(\frac{3}{2}\)　　　　(-\(\frac{1}{2}\))ｘ
∫――――――――ｄｘ＝∫｛――――　＋　――　＋　―――――｝ｄｘ
　(x-1\()^{2}\)(\(x^{2}\)+1)　　　　　　(x-1\()^{2}\)　　　　x-1　　　ｘ^2＋１

　　　　１　　　　　　３　　　　　　　　　　１　　　２ｘ
＝－――――――　＋　―log｜ｘ－１｜　－　――∫―――――ｄｘ
　　２（ｘ－１）　　　２　　　　　　　　　　４　　ｘ^2＋１

　　　　１　　　　　　３　　　　　　　　　　１
＝－――――――　＋　―log｜ｘ－１｜　－　――log｜ｘ^2＋１｜＋Ｃ……（答）
　　２（ｘ－１）　　　２　　　　　　　　　　４　　　　　　　　　積分定数