①も②も公式として覚えておいた方がいいです。

（１）－①
n
∑k=Snとおきます。
k=1
Sn=1+2+3+........+n・・・①
順序を逆にして
Sn=n+(n-1)+....+2+1・・・②
①＋②より
2Sn=(n+1)+(n+1)+.......+(n+1) ※(n+1)をn回加えたもの
=n(n+1)
∴　Sn=(\(\frac{1}{2}\))n(n+1)

（別解）
②の問題がヒントになります。
\(k^{2}\)-(k-1\()^{2}\)=2k-1を利用して
この両辺にk=1,2,3...,nを代入していくと
\(1^{2}\)-\(0^{2}\)=2・1-1
\(2^{2}\)-\(1^{2}\)=2・2-1
\(3^{2}\)-\(2^{2}\)=2・3-1
・・・・・・・
\(n^{2}\)-(n-\()^{2}\)=2・n-1
辺々を加えると
\(n^{2}\)=2Sn-n
∴ Sn=(\(\frac{1}{2}\))n(n+1)

②
\(k^{3}\)-(k-1\()^{3}\)=3\(k^{2}\)+1は
\(k^{3}\)-(k-1\()^{3}\)=3\(k^{2}\)-3k+1の誤りですね。
①の別解と同じ要領で
n
∑\(k^{2}\)=Tnとおいて
k=1
k=1,2,3,...,nを代入していくと
\(1^{3}\)-\(0^{3}\)=3・\(1^{2}\)-3・1+1
\(2^{3}\)-\(1^{3}\)=3・\(2^{2}\)-3・2+1
\(3^{3}\)-\(2^{3}\)=3・\(3^{2}\)-3・3+1
・・・・・・・・・・・
\(n^{3}\)-(n-1\()^{3}\)=3\(n^{2}\)-3n+1
辺々を加えて
\(n^{3}\)=3Tn-(\(\frac{3}{2}\))n(n+1)+n
これをTnについて解いて展開・整理・因数分解して
Tn=(\(\frac{1}{6}\))n(n+1)(2n+1)