2\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)=1の面積を求める問題で、
2\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)≦1と考え、yについて解の公式にて解いて、
y=x\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))を出してみました。
積分範囲をx\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))=0とおいて、
x軸の上側y=x＋\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))とy=x－\(\sqrt{\quad}\)(1-\(x^{2}\))の積分を行いましたが、
どうがんばっても参考書の答え π（パイ）になりません。
そして、参考書では積分の範囲が－１～＋１になっていますが、
意味不明なのです。だれか教えてください。
★希望★完全解答★
2\(x^{2}\)-2xy+\(y^{2}\)=1より、
ｘ^2＋ｘ^2－２ｘｙ＋ｙ^2＝１
ｘ^2＋（ｘ－ｙ）^2＝１
（ｘ－ｙ）^2＝１－ｘ^2
ｘ－ｙ＝\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）
ｙ＝ｘ\(\pm\)\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）
したがって、赤線ｙ＝ｘより上のグラフがｙ＝ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）
下のグラフがｙ＝ｘ－\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）となる。
交点のｘ座標は、連立を解いて（解かなくても図より明らか）
ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）＝ｘ－\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）
２\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）＝０
１－ｘ^2＝０
∴ｘ＝\(\pm\)１
したがって、面積は２つのグラフに囲まれる面積の公式より、
１
Ｓ＝∫ ［｛ｘ＋\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）｝－｛ｘ－\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）｝］ｄｘ
-1
１ １
＝∫ ｛２\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）｝ｄｘ＝２∫ \(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）ｄｘ
-1 -1
置換積分より
ｘ＝sinθとおくと、\(\sqrt{\quad}\)（１－ｘ^2）＝cosθ
ｄｘ＝cosθｄθ
ｘ｜－１ → １
――――――――――
θ｜-π/2 → π/2 半角の公式より
↓
π/2 π/2 １＋cos２θ
Ｓ＝２∫ cosθ・cosθｄθ＝２∫ ――――――ｄθ
-π/2 -π/2 ２
１ １ sin２θ π/2 sin２θ π/2
＝２［―θ＋―・――――］ ＝［θ＋―――― ］
２ ２ ２ -π/2 ２ -π/2
π sinπ π sin(-π)
＝（―＋―――）－｛－―＋―――― ｝
２ ２ ２ ２
＝π……（答）