①関数f(x)=xe^-(\(x^{2}\))について次の問いに答えよ
ただしeは自然対数の底である。
(1)関数y=f(x)の極地、増減、変曲点、凸凹を調べ
グラフの概形をかけ。ただし
x→+∞ x→-∞ のとき、f(x)→0である。
(2)曲線y=f(x)(x≧0)とx軸および直線x=a(a>0)
で囲まれた部分の面積Saを求め、
さらに極大値 lim a→+∞ Saを求めよ
②a>0とする、直線Lが曲線C1:y=logxと
C2:y=log(x-a)+aのどちらとも接している
(1)Lの方程式を求めよ
(2)L,C1,C2 により囲まれる部分の面積S(a)を求めよ
(3)極大値 lim a→+∞ (S(a)/\(a^{2}\)) を求めよ
ただし、lim a→+∞ (log\(\frac{x}{x}\)) =0を用いても良い
③m,nは0または正の整数とする。
定積分 Im,n=∫from 0 to 1 {\(x^{m}\)・(1-x\()^{n}\)・dx}について次の問いに答えよ
(1)n≧1のとき、Im,n=(\(\frac{n}{m}\)+1)・Im+1,n-1を示せ
(2)Im,nを求めよ
(3)S=Σ r=0～n {\(a^{r}\)・(1-a\()^{n}\)-r/Ir,n-r}を求めよ
ただし0＜a＜1 (aは定数)とする。
今回は難しい問題が連続したことと、家族全員が夏風邪にやられたことが
原因で、解答が遅くなりました。やっと完成しました。ヤレヤレ！
問１
（１）
ｆ（ｘ）＝ｘｅ-\(x^{2}\)
ｆ′（ｘ）＝ｅ-\(x^{2}\)＋ｘｅ-\(x^{2}\)・（－２ｘ）
＝ｅ-\(x^{2}\)（１－２ｘ2 ）
ｆ″（ｘ）＝ｅ-\(x^{2}\)（－２ｘ）（１－２ｘ2 ）＋ｅ-\(x^{2}\)（－４ｘ）
＝ｅ-\(x^{2}\)（－２ｘ＋４ｘ3 －４ｘ）
＝ｅ-\(x^{2}\)（４ｘ3 －６ｘ）
増減表とグラフを描いてみると、
（２）
Ｓａ＝∫0aｘｅ-\(x^{2}\)ｄｘ
置換積分を使って解くと、
－ｘ2 ＝ｔとおくと、
－２ｘｄｘ＝ｄｔ
ｘ｜０→ａ
ｔ｜０→－ａ2
１
Ｓａ＝－─∫0-\(a^{2}\)ｅtｄｔ
２
１
＝－─［ｅt］0-\(a^{2}\)
２
１
＝－─（ｅ-\(a^{2}\)－ｅ0）
２
１
＝─（１－ｅ-\(a^{2}\)） ……（答）
２
したがって、
１
ｌｉｍ Ｓａ＝─ ……（答）
ａ→∞ ２
問２
（１）
対数関数ｙ＝ｌｏｇｘ上の接点Ｐ（ｘ1 、ｙ1 ）とすると、
ｙ′＝１／ｘより、
ｙ1 ＝ｌｏｇｘ1
接線Ｌの方程式は
ｙ－ｌｏｇｘ1 ＝１／ｘ1 （ｘ－ｘ1 ）
これがもう一つの対数関数ｙ＝ｌｏｇ（ｘ－ａ）＋ａと接するから
ｙ′＝１／（ｘ－ａ）より、
１／（ｘ－ａ）＝１／ｘ1
ｘ1 ＝ｘ－ａ
ｘ＝ｘ1 ＋ａ
これを代入して、
ｙ＝ｌｏｇ（ｘ1 ＋ａ－ａ）＋ａ
＝ｌｏｇｘ1 ＋ａ
したがって、もう一つの接点Ｑ（ｘ1 ＋ａ，ｌｏｇｘ1 ＋ａ）を接線Ｌに代入すると、
ｌｏｇｘ1 ＋ａ－ｌｏｇｘ1 ＝１／ｘ1 （ｘ1 ＋ａ－ｘ1 ）
ａ＝ａ／ｘ1
∴ｘ1 ＝１
Ｐ（１，０）、Ｑ（１＋ａ，ａ）
ｙ－０＝１（ｘ－１）より、
接線Ｌ：ｙ＝ｘ－１ ……（答）
（２）
２つの対数関数の交点は連立より、
｛ｙ＝ｌｏｇ（ｘ－ａ）＋ａ
｛ｙ＝ｌｏｇｘ
ｌｏｇｘ＝ｌｏｇ（ｘ－ａ）＋ａ
ｘ
ｌｏｇ───＝ａ
ｘ－ａ
ｘ
───＝ｅa
ｘ－ａ
ｘ＝ｘｅa －ａｅa
ｘ（ｅa －１）＝ａｅa
ａｅa
∴ｘ＝────
ｅa －１
したがって、囲まれた面積Ｓ（ａ）は２つの部分の積分の和となるから
Ｓ（ａ）＝∫1 a\(e^{a}\)/(\(e^{a}\)-1)｛（ｘ－１）－ｌｏｇｘ｝ｄｘ
＋∫a\(e^{a}\)/(\(e^{a}\)-1)1+a｛（ｘ－１）－ｌｏｇ（ｘ－ａ）－ａ｝ｄｘ
途中の計算が大変なので、省略して
１ ａ
Ｓ（ａ）＝－─ａ2 ＋ａｌｏｇ｜────｜ ……（答）
２ ｅa－１
（３）
Ｓ（ａ） １ １ ａ
────＝－─ ＋─ｌｏｇ｜────｜
ａ2 ２ ａ ｅa －１
１ ｌｏｇａ ｌｏｇ（ｅa －１）
＝－─＋────－─────────
２ ａ ａ
ｌｏｇｘ
ｌｉｍ────＝０より、
ｘ→∞ ｘ
ｌｏｇａ ｌｏｇ（ｅa －１）
ｌｉｍ────＝０、ｌｉｍ─────────＝０
ａ→∞ ａ ａ→∞ ａ
したがって、
Ｓ（ａ） １
ｌｉｍ ────＝－─ ……（答）
ａ→∞ ａ2 ２
問３
（１）
左辺＝Ｉm,n
＝∫0 1 ｘm（１－ｘ）nｄｘ
ｘm+1 ｘm+1
＝［────（１－ｘ）n ］0 1 －∫0 1 ────・ｎ（１－ｘ）n-1 （－１）ｄｘ
ｍ＋１ ｍ＋１
ｎ
＝０－０＋───∫0 1 ｘm+1 （１－ｘ）n-1 ｄｘ
ｍ＋１
ｎ
＝───・Ｉm+1,n-1＝右辺
ｍ＋１
（２）
ｎ ｎ－１
Ｉm,n＝───×───×Ｉm+2,n-2
ｍ＋１ ｍ＋２
ｎ ｎ－１ ｎ－２ １
＝───×───×───×……×───×Ｉm+n,0
ｍ＋１ ｍ＋２ ｍ＋３ ｍ＋ｎ
ｍ！ｎ！
＝─────・∫0 1 ｘm+n ｄｘ
(ｍ＋ｎ)！
ｍ！ｎ！ ｘm+n+1
＝─────・［─────］0 1
(ｍ＋ｎ)！ m+n+1
ｍ！ｎ！
＝──────── ……（答）
（ｍ＋ｎ＋１）！
（３）
n ａr （１－ａ）n-r
Ｓ＝Σ ─────────
r=0 Ｉr,n-r
n ａr （１－ａ）n-r
＝Σ ─────────
r=0 ｒ！（ｎ－ｒ）！
────────
（ｎ＋１）！
n
＝Σ （ｎ＋１）n Ｃr ａr （１－ａ）n-r
r=0
n
＝（ｎ＋１）Σ n Ｃr ａr （１－ａ）n-r
r=0
＝（ｎ＋１）｛ａ＋（１－ａ）｝n
＝ｎ＋１ ……（答）