（１）
三角関数の相互関係を使って解くと良い。
co\(s^{2}\)ｘ＋si\(n^{2}\)ｘ＝１………①
両辺をco\(s^{2}\)ｘで割ると、
１＋ta\(n^{2}\)ｘ＝１／co\(s^{2}\)ｘ
tanｘ＝ｔとおくと、
co\(s^{2}\)ｘ＝１／（１＋ｔ^2）
①に代入して、
１／（１＋ｔ^2）＋si\(n^{2}\)ｘ＝１
si\(n^{2}\)ｘ＝１－１／（１＋ｔ^2）＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）………②

①と②を問題の分母に代入すると、
co\(s^{2}\)x+4si\(n^{2}\)x＝１／（１＋ｔ^2）＋４ｔ^2／（１＋ｔ^2）
　　　　　　　＝（１＋４ｔ^2）／（１＋ｔ^2）
したがって、
１／（co\(s^{2}\)x+4si\(n^{2}\)x）＝（１＋ｔ^2）／（１＋４ｔ^2）
また、
tanｘ＝ｔを微分して、
（１／co\(s^{2}\)ｘ）ｄｘ＝ｄｔ
ｄｘ＝co\(s^{2}\)ｘｄｔ＝１／（１＋ｔ^2）ｄｔ

準備ができたので解いてみよう。
∫1／(co\(s^{2}\)x+4si\(n^{2}\)x)dx

　　（１＋ｔ^2）　　　　　１
＝∫―――――――・――――――　ｄｔ
　　（１＋４ｔ^2）　（１＋ｔ^2）

　　　　　１
＝∫―――――――ｄｔ
　　（１＋４ｔ^2）

ｔ＝（１／２）tanθとおくと、
分母＝１＋４ｔ^2＝１＋ta\(n^{2}\)θ＝１／co\(s^{2}\)θ
ｄｔ＝（１／２）（１／co\(s^{2}\)θ）ｄθ

したがって、
　　　　１　　　　　　　　　　　　　　１
∫―――――――ｄｔ＝∫co\(s^{2}\)θ・―――――ｄθ
　（１＋４ｔ^2）　　　　　　　　　２co\(s^{2}\)θ

＝∫（１／２）ｄθ＝（１／２）θ＋Ｃ
＝（１／２）tan^-1（２ｔ）＋Ｃ
＝（１／２）tan^-1（２tanｘ）＋Ｃ……（答）

（２）
∫[1,∞]\(\frac{1}{x}\)(\(x^{2}\)+1)dx＝lim∫[1,n]\(\frac{1}{x}\)(\(x^{2}\)+1)dx
　　　　　　　　　　　n→∞
まず、次を解くと、
　　　　　　　　　　　　１
∫\(\frac{1}{x}\)(\(x^{2}\)+1)dx＝∫―――――――ｄｘ
　　　　　　　　　ｘ（ｘ^2＋１）

　　　１　　　　　ｘ
＝∫（―　－　――――　）ｄｘ
　　　ｘ　　　ｘ^2＋１

　　　　　　　　１　　　　２ｘ
＝log｜ｘ｜－　――∫（―――――　）ｄｘ
　　　　　　　　２　　　ｘ^2＋１

＝log｜ｘ｜－（１／２）log（ｘ^2＋１）＋Ｃ

　　　　｜ｘ｜
＝log―――――――＋Ｃ……①
　　　\(\sqrt{\quad}\)（ｘ^2＋１）

①を利用して、
　　　　　　　　　　　　　　　｜ｘ｜　　　ｎ
∫[1,n]\(\frac{1}{x}\)(\(x^{2}\)+1)dx＝［log―――――――］
　　　　　　　　　　　　　\(\sqrt{\quad}\)（ｘ^2＋１）　１

　　　　　｜ｎ｜　　　　　　　１
＝log―――――――　－　log――
　　　\(\sqrt{\quad}\)（ｎ^2＋１）　　　　\(\sqrt{\quad}\)２

極限を考えて、
∫[1,∞]\(\frac{1}{x}\)(\(x^{2}\)+1)dx

　　　　　　　　｜ｎ｜　　　　　　　１
＝lim　｛log―――――――　－　log――　｝
　n→∞　　　\(\sqrt{\quad}\)（ｎ^2＋１）　　　　\(\sqrt{\quad}\)２

　　　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　１
＝lim　［log―――――――――――　－　log――　］
　n→∞　　　\(\sqrt{\quad}\)｛１＋（１／ｎ^2）｝　　　　\(\sqrt{\quad}\)２

＝log１－log（１／\(\sqrt{\quad}\)２）
＝log\(\sqrt{\quad}\)２
＝（１／２）log２……（答）